淺議與線性規劃交匯題

摘 要：線性規劃是數學規劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支，線性規劃是直線方程的一個簡單應用，它與解析幾何、向量、不等式、概率可交匯進行綜合命題。

關鍵詞：線性規劃；幾何向量；交匯題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）21-263-03

縱觀近些年的高考題，細細品味發現：重視在“知識的交匯處命題”是高考數學命題的一大特點，因為知識的交匯處既體現了知識的內在聯系，又能更好考查學生的數學綜合能力。本人結合自己的教學體會和2011年江西省各地模擬試題及全國各省高考題，對其中的線性規劃題作一簡單歸納。

1、線性規劃與解析幾何交匯

例1：（江西省南昌市2011屆高三第三次聯考）已知x，y滿足不等式組 ，則 的最小值為（ ）

A. B. 2 C. 3 D.

分析與簡解：

欲求最小值的式子可化為 ，即表示區域內動點（x，y）與定點（-1，1）的距離的平方，故畫出線性約束條件下不等式組所表示的平面區域，如上圖，易知問題可轉化為求點（-1，1）到直線y=x的距離的平方，易算得2，故選B。

歸納：線性規劃能很好地把數與形結合起來，故它與解析幾何交匯很自然，此類題首先要準確畫出不等式組表示的平面區域，即完成由數到形的轉化，然后根據式子的幾何意義，直觀觀察求得相關結論。

（1）（江西省吉安市2011年高三期末聯考卷）若點P在區域 內，則點P到直線 距離的最大值為______

（2）（江西省上饒市重點中學2011屆高三聯考）設 ，若實數x，y滿足條件 ，則 的最大值是_______。

（3）（江西省2011屆高三九校聯考）設x，y滿足約束條件 ，則 的取值范圍是（ ）

A. B.

C. （ ）D.

2.線性規劃與函數，方程交匯

例2：（江西省八所重點中學2011年高三聯考）已知函數f（x）的定義域為 ，且f（6）=2，f/（x）為f（x）的導函數，f/（x）的圖象如上圖所示，若正數a，b滿足f（2a+b）<2，則 的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

分析與簡解：

由導函數圖象知， ，f（x）遞增，故由f 可知： ，作出可行域△ABO內部，如上圖所示，易知 表示區域內點（a，b）與定點P（2，-3）連線的斜率，易求得 ，故選A。

例3：（江西省新余一中2011屆高三六模）已知函數 的一個零點為x=1，另外兩個零點可分別作為一個橢圓和一個雙曲線的離心率，則 取值范圍是__________.

分析與簡解：

依題意函數的三個零點即方程 的三根，且 ，故方程可等價為 有兩不等根，一根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，即 ，作出可行域，易求得直線a+b+1=0與2a+b+3=0的交點A為（-2，1），故可求得 ，故 的范圍應為 .

3.線性規劃與概率交匯

例4：（江西贛州市2011年高三摸底考試）在平面xOy內，向圖形 內投點，則點落在由不等式組 所確定的平面區域的概率為________.

分析與簡解：

記事件A為點落在由不等組確定的區域內，作出該區域，如上圖所示，易求得其面積為 ，另外試驗的全部結果所構成的區域面積應為圓 的面積，應求得為4π，故 .

歸納：涉及到幾何概型中的面積比常用到平面區域面積。又如

（1）（江西省九江市2011屆高三七校聯考）已知點P（x，y）在約束條件 所圍成的平面區域上，則點P（x，y）滿足不等式 的概率是________.

（2）（江西省吉安市2011屆高三一模）已知函數 ，實數a，b滿足 ，則函數 在[1，2]上為減函數的概率是（ ）

A B C D

4.線性規劃與向量交匯

例5：（2011福建理科）已知O是坐標原點，點A（—1，1），若點M（x，y）為平面區域上的一個動點，則 的取值范圍是（ ）

A.[-1，0] B.[0，1]

C.[0，2] D.[-1，2]

分析與簡解：

準確做出不等式組所表示的平面區域，如上圖所示陰影區域：

由 表示 在 方向上的投影與 的模的積，觀察易得點M分別在點B，D處使 取得最小值0，最大值2，故選C.

在2011年高考及各地模擬卷中，向量與線性規劃交匯的題還有：

（1）（2011廣東理）已知平面直角坐標系xOy上的區域D，由不等式組 給定，若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為 ，則 的最大值為（ ）

A.3 B.4 C. D.

（2）（江西省重點中學協作體2011屆高三第二次聯考）已知點P（x，y）滿足條件 ，點A（2，1），則 的最大值為（ ）

A. B. C . D. 2

參考答案：（1）4 （2）5 （3）D（1） （2）B（1）B （2）D