由“0”引發的思考

摘 要：辨析初等數論中若干問題：0是否為一位數；自然數的分類；佩亞諾（G.Peano）的自然數公理；數學歸納法；前 個自然數中 的倍數的個數公式等。

關鍵詞： 一位數；自然數；自然數公理

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）15-0050-01

0.引言

1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》（GB3100～3102-93）《量和單位》（11-2.9第311頁）規定了自然數包括0，具有其合理性，但也帶來一些爭議，以下就有關“0”及由其引起的一些問題做些剖析。

1. 0并非一位數。

我們說一個數是 位數，應是：該數為非負整數，占有個數位且首位非0。如果沒有“首位非0”的規定，一個數是幾位數就說不清楚了。因此最小的一位書應該是1而不是0[1]。

2.自然數的分類。

小學教材都把自然數分為：1；質數；合數；三類。現在自然數集合有了0，則應該分為四類。0單獨作為一類。

3.自然數公理。

1889年，意大利數學家佩亞諾（G.Peano）建立的自然數公理：

“這里要使用兩個形式符號：1和1'，它們要滿足以下5條公理：

（1）1是自然數；（2）每個自然數a都有一個后繼數a'；（3）1不是任何自然數的后繼數；（4）若a'=b'則a=b（5）（歸納公理）自然數的某個集合若含1，而且如果含一個自然數a就一定含a' ，那么這個集合含全體自然數”

現在自然數集合有了0，則以上公理中的1全得改為0。

4.數學歸納法。

我們知道，佩亞諾（G.Peano）建立的自然數公理是數學歸納法的邏輯依據，現在公理改了，數學歸納法也得相應更改，以往奠基是證明n=1時命題真，現在得改為證明n=0時命題真。

5.前a個自然數中n的倍數的個數。

以前，自然數集合中沒有0，則前a個自然數中n的倍數的個數為■ ，現在自然數集合中有了0，則前a個自然數中 n的倍數的個數應為1+■ ，因為現在前a個自然數應該是：0，1，2， ……，a-1。

以下是[2]的一道例題：

前100個自然數中，既不是2的倍數，也不是3的倍數，還不是5的倍數的數有多少個？

解 前100個自然數中，

2的倍數有■=50（個），3的倍數有■=33（個），5的倍數有■=20（個），同時是2和3的倍數有■=16（個），同時是3和5的倍數有■=6（個），同時是2和5的倍數有■=10（個），同時是2，3，5的倍數有■=3（個），故既不是2的倍數，也不是3的倍數，還不是5的倍數的數有100－（■+ ■+ ■）+（■+ ■+■）－ =100－（50+33+20）+（16+6+10）－3

=26（個）。

本題默認前100個自然數為：1，2， 100。由于100是2的倍數（也是5的倍數），因此在計算時用容斥原理把它排除了。而如果認定前100個自然數為：0，1，2， 99，則由于0是2的倍數（也是3、5的倍數），因此在計算時用容斥原理同樣得把它排除，因此兩種認定，結果是一樣的。但有時結果卻不一樣。

用容斥原理時沒排除掉，后面的解法中，把2001換成0了，由于0是5的倍數（也是7的倍數），因此用容斥原理時排除掉了。

把0當作自然數，引起了不少爭議問題，主要原因是小學數學中一直沒把0當作自然數，建議小學教材中要強調“0是自然數”。

參考文獻

[1]張奠宙等.小學數學研究[M].北京:高等教育出版社，2009.1，37-38

[2]趙繼源.初等數論[M].南寧:廣西師范大學出版社，2001.9，51-52