數學習題教學中培養學生審題能力

摘要：審題是解題的第一步，同時也是非常關鍵的一步，只有認真審題，弄懂題意，才能快速解題，避免錯誤。那么怎樣提高審題能力呢？本文通過對典型例題的分析，從抓關鍵詞、排除干擾因素、挖隱含條件、數形結合、數學建模等方面研究如何培養學生的審題能力。

關鍵詞：審題能力；培養學生；數形結合

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002—7661（2012）19—0107—01

審題是解題的第一步，也是解題的關鍵，它是一種綜合能力，包括閱讀、理解、分析、推理和綜合等，也包括嚴肅認真細致的態度等非智力因素，只有認真審題，弄清題意，才能迅速求解，避免錯誤，因此教師在教學過程中，必須注意對學生審題能力的培養，在實踐中提高審題的能力。

一、培養學生審題能力的意義

許多解題者不習慣審題后再解題，不舍得在審核上下工夫，常常就會因對題目信息感知不足，理解不透，而導致解題思路混亂無序，解題過程障礙重重，甚至造成錯解，審題不過關已成為學生解題成敗的一個重要因素。所以，指導學生的審題行為，對提高學生審題質量有著重要的現實意義。

二、在數學習題教學中培養學生審題能力

1.保證審題時間，培養學生認真審題的習慣

審題過程是一個思維過程，成功的審題需要一定的時間作保證，不同的試題，不同的人需要的時間是不同的，考試中學生為了搶時間，往往不重視審題，在審題上花的時間不夠，導致審題出錯。所以，習題教學的重要任務之一就是訓練學生養成認真審題的習慣，這就是要求教師講解習題時，一定要留給學生足夠的審題時間，并引導學生認真審題，切不可為了趕進度而急于講解。同時教師也不要急于讀題，因為教師讀題時語氣的輕重緩急都會對學生的審題形成暗示。

2.對學生的審題進行指導

許多學生不會審題，缺乏常用的審題方法。筆者認為，教師在平時的習題教學中可從以下幾個方面對學生的審題進行指導：

（1）抓關鍵詞

許多題目中，經常會出現對解題具有關鍵性作用的詞匯，能否對其準確地理解，直接關系到解題的成敗。因此，要仔細閱讀題目，逐字逐句地推敲斟酌題目中文字的含義。

所謂關鍵詞，可能是對題目涉及的平移方向的描述，也可能是對要求討論的研究對象，參數范圍的界定，忽略了它們，往往使解題過程變得盲目，思維變得混亂。如“僅在” “最大值”“最小值”“一定”“任意”“存在”等。讓學生通過習題正確理解有關關鍵詞語的內涵。例如：

“僅在”——往往與臨界情形相聯系；

“最大，最小”——往往與邊界情形聯系；

“一定”——是唯一不二的情形；

例1. 已知變量x，y滿足約束條件x+2y—3≤0x+3y—3≥0y—1≤0，若目標函數z=ax+y（其中a>0）僅在點（3，0）處取得最大值，則a的取值范圍為■

[關鍵詞] 僅在，最大值.

有的教師要求學生在平時的練習和考試中，能夠找出關鍵詞，并用筆劃出來，這對提高審題效率和準確性有很好的作用.

（2）挖掘隱含條件

有些題目已知條件不直接告訴，而是寓于某些概念，現象，數據，圖形之中，稱之為隱含條件。常見的隱含條件有知識性隱含條件，臨界條件性隱含條件，數據性隱含條件等。有些隱含條件隱藏的并不深，平時又常見到，挖掘起來并不難；有些則隱藏的比較深，審題時需要深入分析，反復推敲。

例2.是否存在實數，使函數f（x）=loga（ax2—x）在區間[2，4]上單調遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由。

[隱含條件]①”函數”f（x）=loga（ax2—x）隱含“底數a>0且a≠1，真數在[2，4]恒成立”

②“函數f（x）=loga（ax2—x）在區間[2，4]上單調遞增”隱含t=（ax2—x）“在[2，4]單調”。

③“真數（ax2—x）>0在[2，4]恒成立”在求解中只需利用其單調性讓其最小值大于零即可。

對題目隱含條件的挖掘，需要將生活情境，數學分析結合起來，因為題目的隱含條件多種多樣，被隱藏的可能是字母，變量或關系式的制約條件或取值范圍；也可能是問題所涉及的基本概念，它所屬對象的性質，或是問題所適合的數學模型或公式、定理等。要認真地審題，在確定研究對象，建立數學模型，分析條件，選擇適用公式等，都要仔細思考除了明確給出的條件以外，是否還隱含著更多的條件，這樣才能準確地理解題意。

（3）數形結合

“數”與“形”是數學這座高樓大廈的兩塊最重要的基石，二者在內容上互相聯系、在方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉化；而圖像分析法正是在這一學科特點的基礎上發展而來，使用數形結合與數形分離的思想進行解題，題干中圖像意義比較明顯，豐富的問題，一般可用圖像分析法求解。畫圖能清晰地展示題目中所敘述的數學關系，把抽象的內容具體化，形象化，從而幫助我們理解數學內在聯系，確立變量的間關系，找到解題思路。

例3.若圓x2+y2—4x—4y—10=0上至少有三個不同點到直線l：ax+by=0的距離為2■，則直線l的傾斜角的取值范圍是■ 。

題中有兩個研究對象：直線與圓，大多數學生感到題目看懂了，但是就不知道如何下手，如果不畫圖，要搞清題中的已知條件及其關系將很困難，但要是能畫出如圖1所示的圖形，尋找到臨界情況，一切就會顯得簡單明了.

要對學生進行形象思維訓練，如畫示意圖，立體圖，立體圖轉化平面圖，運動軌跡圖等；要培養學生的想象能力，認清題目所描述的數學過程。

■

圖1

（4）建立數學模型

通常數學應用題，應用題主要考查學生獲取信息.根據問題建立數學模型.解決問題的數學規律和方法的能力.這類題情景新（內容一般課本上沒有），題干較長，表述抽象，干擾因素多，審題時應積極尋找已有的信息與某此概念，條件及過程之間的相似，相近或聯系，通過此類聯想或抽象概括，或邏輯推理，或原型啟發，建立數學模型，將題目轉化為熟知的數學情景.

例4.一張1.4m高的圖片掛在墻上，它的底邊高于觀察者的眼1.8m，問觀察者應站在距墻多遠處看圖，才能最清晰（即視角最大，視角是指觀察圖片的上底的視線與下底的視線所夾的角）？

[審題關鍵點]此題的考點是正切，兩角差的正切公式以及導數求最值.學生的易錯點是不能從題目中尋找切入點，感到題目比較陌生，不會設定變量，無從下手。

學生若畫出示意圖，建立數學模型，由已知條件轉化為求tanα的最大值，進而設定未知量x，根據兩角差的正切和求導即可解出。

（5）警防“陷阱”

所謂“陷阱”題是為了考查學生對基本概念，基本規律掌握得是否扎實，思考問題是否周密，分析問題是否準確，而設計的容易導致錯解的一類題目，解這類題目要小心。

例5.已知定義在[—2，2]上的連續函數f（x），其導函數f'（x）=4+cosx，且f（0）=0，解不等式f（1—x）+f（1—x2）<0.

[審題關鍵點]1.有些同學求原函數的基本功不扎實，認為f（0）=0這個條件是多余的，其實忽略了常數項的導數為零。在求原函數f（x）時，要設f（x）=4x+sinx+c，利用f（0）=0得c=0。

2.很多學生受前經驗影響，把解題重心用在單調性，奇偶性運用上，忽略了最明顯的1—x，1—x2要在函數f（x）的定義域內，從而造成錯解。

三.教師在課堂習題教學中應采取的措拖

1.暴露審題的思維過程，培養學生的審題技巧

習題講解時，要調動學生積極性，讓他們大膽地說出自己對題目的理解，暫緩作出評價，讓更多的學生踴躍發言，從而引出多種多樣的審題方案，讓學生在反思自己的審題，評價別人的審題過程中體會審題的技巧。

2.再現錯題的審題過程，增強學生的審題意識

把學生因審題引起的錯誤收集起來，進行歸類整理后在課堂上重現，讓學生分析出錯的原因，使學生認識到許多題目的出錯都源于審題，審題在正確解題中起著重要的作用，激發學生的審題意識。