淺談根與系數的關系及其應用

摘要：在初中數學的教學當中，一元二次方程根與系數之間的關系是最為重要的內容之一，而它也被各個部分的數學知識所應用。一元二次方程根與系數之間的關系，也是學生最為感興趣，喜歡去探討的初中數學中的問題之一。

關鍵詞：根與系數；關系；應用

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A 文章編號：1002—7661（2012）19—0085—01

隨著新課程的不斷推進，要求在初中數學的教學當中尋找出最為簡便的學習方式，從而讓學生能夠在高自信、高興趣的基礎上進行數學知識的學習，這也是教學發展的必然。在根與系數的實際應用當中，我們需要懂得如何的去巧妙構思，從而找尋最簡單的解決數學例題的辦法。這需要廣大的初中教師從心底上引起重視，才能夠完善處理兩者的關系，達到有效教學的目標。

一、求值——構造根與系數的關系模型

例題一：已知x=■，試求出（x+■）n的值。

解：假設A=2011■、B=2011■。通過已知我們可以得到A+B=2x。由于AB=—1，所以我們可以得出A、B是有關于y的方程y2—2xy—1=0的兩個根。解答這一個方程可以得到y=x±■。又因為A大于B，所以可以得到A=x+■，（x+■）n=An=（2011■）n=2011。

點評：此例題是通過對于已知條件變形，然后通過一元二次方程根的意義，從而將新的一元二次方程構造出來，就能夠輕松的將求值問題解決。

二、解方程——構造根與系數的關系模型

例題二：方程2x2+4x+1+■=0

解：通過原方程，我們可以推出2（x2+2x+2）+■=3。由于2（x2+2x+2）*■=2，所以我們能夠得出2（x2+2x+2）和是y2—3y+2=0的兩個根，通過方程，我們可以得出y1=1，y2=2，也就是說2（x2+2x+2）=1，但是無實數根，那么2（x2+2x+2）=2，得到x=—1，通過帶入驗證得出，原方程的根為x=—1。

點評：通過對于原方程特點的觀察，對于適當變形的方程所產生的和與積是定值，因此在簡化原方程的過程中，可以使用根與系數的關系，就能夠簡單的進行解答。

三、解方程組——構造根與系數的關系模型

例題三：方程組x2+4y2=5xy=1

解：通過原方程組，我們可以將其轉變為x2+（2y）2=5X2（2y）2=4

因此，對于方程t2—5t+4=0，x2、（2y）2就是其兩個根，我們就可以得出t1=1，t2=4。

也就是x2=1 （2y）2=4 x2=4（2y）2=1 （xy=1）

所以我們可以得到

x=1y=1 x=—1y=—1 x=2 y=1/2 x=—2y=1/2

點評：本例題主要是通過對于方程組的變形創造當中合理地運用了根與系數的關系，從而將二元二次方程組予以簡便化，使得方法不僅具有新意，也體現出了靈活性。

四、證明恒等式——構造根與系數的關系模型

例題四：已知實數a、b滿足了ab+a+b=9，a2b+ab2=20，試著證明出a2+b2—17=0。

證明 通過已知條件，我們可以知道ab+（a+b）=9，ab（a+b）=20，是方程t2—9t+20=0的兩個根，因此我們可以得出t1=4，t2=5。

所以，當a+b=4，ab=5的時候，a、b是方程u2—4u+5=0的兩個根，但是這一個方程沒有實數解。當a+b=5，ab=4的時候，就有實數解，將實數解帶入到方程a2+b2—17=0中去，可以證明a2+b2—17=0成立。

點評：本例題的解答關鍵在于第一次的轉化，然后在通過根與系數關系的兩次使用，從而證明出了恒等式。

五、證明不等式——構造根與系數的關系模型

例題五：已知a、b皆為正實數，并且a+b=1，那么（1+■）（1+■）≥9.

證明 假設x=（1+■）（1+■），因為a+b=1，我們可以得到ab=■。已知a、b方程m2—m+■=0的兩個根，并且a、b皆為正實數，因此可以得到△=1—■≥0，又因為x>1，就可以得到x≥9。

點評，本例題不等式左邊是x，構造關于a、b為不等根的一元二次方程，并且考慮到0，所以能夠將x的范圍確定出來，從而能夠快速的將不等式證明出來。

總之，筆者在文中詳細介紹了根與系數在實際的數學例題當中的巧妙應用。作為初中數學當中最為重要的部分，一元二次方程根與系數的關系就成為了初中數學當中需要師生共同研究的內容之一。

參考文獻：

[1] 洪昌林. 根的判別式的應用[J]. 數學學習與研究（教研版）， 2009，（02）

[2] 范勇.一元二次方程的根的判別式和根與系數的關系[J].學生之友（初中版）， 2006，（05）.