初中數學教學中的一些數學思想

《全日制義務教育數學課程標準》指出：教師應激發學生的學習積極性，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。新課程把數學思想作為基礎知識的重要組成部分，在新課標中提出來，這不僅是課標義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創新教育、培養創新思維的重要保證。

數學思想是對數學知識和方法本質的認識，是解決數學問題的根本策略，它直接支配著數學的實踐活動；數學思想和方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。目前，在初中階段，主要數學思想方法有：轉化思想、方程思想、分類討論的思想、數形結合的思想等。

一、轉化思想

所謂“轉化思想”是指把待解決或未解決的問題，通過轉化，歸結到已經解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法。我們在數學學習過程中，常常把復雜的問題轉化為簡單的問題，把生疏的問題轉化為熟悉的問題。數學問題的解決過程就是一系列轉化的過程。轉化是化繁為簡、化難為易、化未知為已知的有力手段，是解決問題的一種最基本的思想，對提高學生分析、解決問題的能力有著積極的促進作用。

在學習《平行四邊形和梯形的認識》時，對于梯形的認識和學習可引導學生通過作適當的輔助線，比如做梯形的高、平移一條腰或者平移一條對角線把梯形分割或補成三角形和平行四邊形來解決問題。從而把生疏的、新的問題轉化為熟悉的、舊的問題，把困難的問題轉化為容易的問題。

二、方程思想

所謂方程思想，主要是指建立方程（組）解決實際問題的思想方法。教材中大量地出現這種思想方法，如列方程解應用題、求函數解析式、利用根的判別式、根與系數關系、求字母系數的值等。方程建模的思想對人的教育價值體現在兩個方面：一個是建模，另一個是化歸。學生學習方程的意義在于：一是學習在生活中從錯綜復雜的事情中，將最本質的東西抽象出來，這個過程是非常難的，很有訓練的價值；二是在運算中遵循最佳的途徑，將復雜問題簡單化，這種優化思想對于思維習慣的影響是深遠的。

教學時，可有意識地引導學生發現等量關系從而建立方程。如講“利用待定系數法確定二次函數解析式”時，可啟發學生去發現確定解析式的關鍵是求出各項系數，可把它們看成三個“未知量”，告訴學生利用方程思想來解決，那學生就會自覺地去找三個等量關系建立方程組。在這里如果單講解題步驟，就會顯得呆板、僵硬，學生只知其然，不知其所以然。

三、分類討論思想

“分類討論”是一種邏輯方法，是中學數學中一個極其重要的數學思想方法，同時也是一種重要的解題策略，當被研究的問題包含多種可能的情況不能一概而論時，就要按照可能出現的各種情況進行分類討論，從而得出各種情況下的結論，這種處理問題的思維方法就是分類討論思想。

例如，對于絕對值的問題，往往要將絕對值符號內的對象分為正數、負數、零三種情況，在每種情況下再分別處理。

例題：若m-n=n-m，且m=4，|n|=3，則（m+n）2=。

簡解：因為m=4，|n|=3，所以m=±4，n=±3，

又因為m-n=n-m，所以n-m≥0，n≥m。

當n=3時，m可能取的值為-4，結果為1;

當n=-3時，m可能取值為-4，則結果為49，所以（m+n）2可能的值是49或1。

絕對值概念是一個需要分類討論的概念，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤。許多學生因分類討論的意識不強等原因，導致結果不完整，失分比較多。運用分類討論思想處理數學問題時首先要審清題意，認真分析可能產生不同影響的因素，明確分類標準。另外還要逐一討論，認真解答。

四、數形結合的思想

“數缺形，少直觀；形缺數，難入微”，數形結合的思想，就是研究數學的一種重要思想方法，它是指把代數的精確刻畫與幾何的形象直觀相統一，將抽象思維與形象思維相結合的一種方法。

數形結合的思想貫穿于初中數學教學的始終。數形結合思想的主要內容體現在以下幾個方面：（1）建立適當的代數模型。（2）建立幾何模型解決有關方程和函數的問題。（3）與函數有關的代數、幾何綜合性問題。（4）以圖象形式呈現信息的應用性問題。采用數形結合思想解決問題的關鍵是找準數與形的契合點。如果能將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產生事半功倍的效果。

數形結合是數學中一種重要的思想方法，它將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使代數問題幾何化或使幾何問題代數化，為問題的解決提供了簡潔明快的途徑。在實踐中我們發現，學生在解決問題的過程中經常會面對問題時無從下手，這時如果學生能靈活運用數形結合的方法，往往能很快找到解決問題的竅門。

在初中數學教學中，滲透數學思想方法，可以克服就題論題、死套模式。數學思想方法可以幫助我們加強思路分析，尋求已知和未知的聯系，提高分析、解決問題的能力，從而使思維品質和能力有所提高。提高學生的數學素質，必須緊緊抓住數學思想方法這一重要環節，因為數學思想方法是提高學生的數學思維能力和數學素養的重要保障。

（作者單位 河北省唐山市友誼中學）