基于深度學習的籃子期權定價數值算法

李方琦

( 北京郵電大學 理學院, 北京 100089)

由于交易市場的擴大、客戶需求的差異以及金融衍生品市場的完善，金融機構涉及到多種期權。在眾多的期權中，除了標準歐式和美式期權外，還有許多基于標準期權的奇異期權[1]。由于奇異期權可以根據客戶的不同需求進行設計，交易方式和價格比標準期權更加靈活，結構比標準期權更加獨特，風險管理能力更強。隨著奇異期權在金融市場中地位的不斷提高，有必要對奇異期權的定價進行研究?；@子期權[2]是一種奇異期權，是一種多資產期權，通常用于許多外匯交易中進行對沖。多重標的資產價格的加權平均值決定了籃子期權的到期收益率。一般來說，籃子期權的成本效率更高。因此，本文研究股票價格服從Heston波動率模型[3]的一籃子期權，推導期權價格滿足的偏微分方程(PDE)。

大多數基于期權定價的連續時間模型沒有閉合解。即使有閉合解，由于其特殊的形式，也很難快速求解。因此，在許多情況下，使用數值方法來解決這個問題，如蒙特卡羅、二叉樹模型、三叉樹模型等。多倫多大學的辛頓在2006年首次提出了深度學習的定義。它是以樣本數據為基礎，通過一定的訓練方法進行機器學習的過程[4]。從此，深度學習的序幕拉開。Jentzen等[5-6]克服確定性數值逼近方法的局限性(維度詛咒)，提出了一種基于深度學習的高維數值逼近方法。在高維籃子期權數值解研究較少的基礎上，本文將深度學習方法應用于籃子期權定價。

1 模型介紹

假設：

(a) 稅收和交易成本可以忽略不計；

(b) 沒有套利；

(c) 標的資產不分紅，交易可以無限分割；

(d) 無風險收益率r是一個常數。

波動率滿足Cox, Ingersoll and Ross提出的短期收益率模型：

其中：k是常數，并且每個θi(方差過程的平均水平)也是常數。

一籃子期權[2]在T時刻的價格定義為

其中K是期權的執行價格。通過風險中性定價，一籃子期權在t時刻的價格為

通過Feynman-Kac公式[7],期權價格F(t,s,v)滿足下列PDE：

(1)

本文的目標是計算式(1)中的期權價格F(t,s,v)。

2 算法描述

為了近似式(1)中的F(t,s,v)，本文簡單地介紹[5]中提出的基于深度學習的倒向隨機微分方程(BSDE)求解算法。

2.1 算法的理論基礎

假設(Ω,F,P*)是一個給定的概率空間,T>0,l∈,并且函數F=F(t,x)∈C1,2([0，T〗×l,)滿足：

(2)

式中：f:l××l→和g:l→是連續函數；μ:[0,T]×l→l和σ:[0,T]×l→l是Lipschitz連續函數。

假設W:[0,T]×Ω→l是一個l維布朗運動，=(t)t∈[0,T]是定義在(Ω,F,P*)上的流(filtration)。E?l是單連通區域。隨機過程Y:[0,T]×Ω→和Z:[0,T]×Ω→l滿足下列方程：

(3)

偏微分方程(2)和隨機微分方程(3)的關系為

(4)

方程組(4)中第一個方程通常稱為Feynman-Kac公式[8]。

2.2 算法概述

簡要介紹基于深度學習的數值BSDE算法[6]。首先由一組FBSDE開始：

對于上述前向和倒向過程，使用Euler scheme[9]和Milstein scheme[10]后得到：

Xti+1≈Xti+μ(ti,Xti)(ti+1-ti)+σ(ti,Xti)(Wti+1-Wti)，

(5)

Yti+1≈Yti-f(Xti,Yti,Zti)(ti+1-ti)+Zti(Wti+1-Wti)。

(6)

這里，把BSDE轉化為前向過程。這組過程在本文中有如下解釋：Xti由標的資產的價格和波動率Sti,Vti構成；Yti是期權的價格(這點由Feynman-Kac公式可得)；Zti代表ti時刻的Yti對Xti的偏導數。

算法的步驟可簡要概括為：

第一步：從標的資產在0時刻的價格X0和猜測的初始值Y0,Z0開始。在數值BSDE算法中，采用神經網絡結構，用參數θ來逼近各時間點的Zti項。

第二步：使用式(5)、式(6)和神經網絡近似得到的Zti計算每一個Xti和Yti,直到T時刻。

第三步：在終端時刻，定義損失函數為E[(YT-g(XT))2]。采用隨機梯度下降法，通過迭代到Y0,Z0和θ的最優值，使損失函數最小化。

3 數值模擬

3.1 d維籃子期權

把一籃子期權定價問題代入2.2節算法中，有

向量ei∈l,滿足

e1=(1,0,0,…，0,0)，e2=(0,1,0，…，0,0)，…，el=(0,0,0,…，0,1)，對任意t1,t2∈(0，T]，x=(x1,x2,…，xl)=(s1,…，sd,v1,…，vd),ω=(ω1,ω2,…，ωl)∈l,在籃子期權中，關于x的迭代函數[9-10]式(5)為

且一籃子期權的價格F(t,s,v)滿足的偏微分方程為式(1)。

3.2 數值結果

本文的每個數值模擬都是使用TENSORFLOW 1.8.0在PYTHON中執行的，繼續討論神經網絡求解衍生期權定價問題。

表1 期權價格隨迭代步數的變化Tab.1 Changes of option prices with steps

為了得到期權價格F(t=0,x=(100,…,100,1,…,1))的近似值，將本文算法程序獨立運行5次，記下每次運算期權價格和損失函數的變化。在計算過程中以蒙特卡羅方法得到的期權價格8.125作為精確解來計算一階相對誤差。

圖1 5次模擬期權價格的變化情況Fig.1 Changes of option price in 5 simulations

5次模擬期權價格隨迭代步數的變化關系如圖1所示，為了使趨勢更加明顯本文使用了lg坐標。圖1中5條曲線最后接近于同一數值，說明該算法穩定。

4 結束語

隨機微分方程和偏微分方程在金融衍生品定價模型中有著廣泛的應用，通常它們的解析解是無法得到的，設計和分析能夠近似求解的數值方法一直是活躍的研究課題。本文系統地描述了利用深度學習求解籃子期權的偏微分方程。實驗結果表明，該方法是準確穩定的，有助于將該方法應用到其他期權定價中。