為何不是“一對多”

摘要：20世紀初，在貝利和克萊因等數學家的大力倡導和推動下，函數進入了中學教材。函數概念是數學最重要的概念之一。從高中教材中一道例題出發，以對應關系中“一對多”的情況為突破口，對函數概念進行了再理解。

關鍵詞：函數；一對多；確定性

“用函數來思考”是克萊因領導的數學教育改革運動的口號，克萊因提出了一個重要的思想——以函數概念和思想來統一數學教育的內容。在我國高中數學課程中，就把函數作為貫穿整個課程的主線。

人教版高中數學教材從描述集合的概念人手，用集合語言引入函數概念，然后又進一步介紹了映射的概念，并明確指出：映射是函數概念的推廣，函數是一種特殊的映射。在映射部分的例題中，列舉了四對數集，每對數集之間用箭頭表示元素問的對應關系，要求判斷其中哪對數集之間是映射，哪對是函數關系。通過解答該題可以發現，元素間的對應關系中，“一對一”和“多對一”的對應關系既屬于映射，也是函數關系。而“一對多”的情況不屬于映射，更不是函數關系。那么，為什么“一對多”的對應關系就不屬于映射和函數關系呢?教材中并未作出明確的解釋。

從函數的定義出發，教材中函數定義表述如下：設集合A是一個非空的數集，對A中的任意數x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數y，與它對應，則這種對應關系叫做集合A上的一個函數。由定義可知，與A中的任意數x對應的數y，是唯一確定的，而對應于y的x的個數并沒有進行限制，所以數集中元素間“一對一”或“多對一”的對應關系是函數關系，而“一對多”的對應關系不滿足函數關系所要求的y的唯一確定性，所以不屬于函數關系。那么，為什么函數關系不包括“一對多”的對應關系呢?

這可以追溯到函數概念的起源，早期，數學不研究事物的運動變化。運動變化是物理學研究的對象，函數思想是隨著數學開始研究事物的運動變化出現的。隨著社會的發展，人們逐漸發現，一個或幾個量的變化，會引起另一個量的變化，這種量與量之間的相互依賴關系，就是函數思想的萌芽。無論因變量受到幾個自變量的影響，因變量對于相應的自變量都是唯一確定的。所以“多對一”的對應關系是符合函數關系的，而“一對多”是不符合客觀實際的。

數學用函數來表述現實世界里的因果關系，函數中的自變量就相當于原因，因變量相當于結果，那么，相同的自變量必然對應相同的因變量，且因變量唯一，自變量和因變量處在不同的地位，自變量處于主動地位，而因變量處于依從地位，是因變量隨著自變量變化，而不是自變量隨著因變量變化。正是由于自變量對因變量的決定作用以及因變量對自變量的依從，人類才能利用函數準確地把握現實世界，并且能在某種程度上預測未來。回到最初提出的問題，“一對一”或“多對一”的對應關系，我們都可以通過前面的“一”或“多”來推斷后面那唯“一”的結果，而“一對多”的對應關系，我們從“一”個原因出發，得出的是不確定的“多”種結果狀態，這既不符合客觀現實，又不利于因果推導。所以，“一對多”的對應關系不屬于函數關系。

綜上所述，簡單地把函數理解成確定性的對應關系是不充分的，例如，一個班級里的每個同學期中考試的數學成績和物理成績也存在一一對應的確定關系，但是數學成績和物理成績之間并不一定存在因果關系，它們之間有可能是相關關系，其相關程度可以通過統計方法對數據的處理得出的相關系數來表示。變量之間相隨變動的數量關系，分為函數關系和相關關系兩類，前者表示變量之間數量上的確定性關系，即一個或一組變量在數量上的變化通過函數式可完全確定另一個變量在數量上的變化；后者表示變量之間的相隨變動的某種數量的統計規律性，一個變量只是大體上按照某種趨勢隨另一個或一組變量而變化。正是這種對確定性與必然性的不懈追求，使數學能更好地描述客觀世界不變的本質規律，更好地服務于現實社會。以確定性為重要特征的函數，更是一個便捷有效的數學工具。

我國學生從初中開始正式接觸函數概念，在以后的數學學習過程中，函數的學習一直處于主要地位，但學生大部分的精力都用在了解題上，而忽略了對函數概念的正確理解，以及對函數思想內涵的把握。只有深入理解函數思想的實質，才能幫助我們更好地利用函數來認識世界、改造世界。

(作者單位首都師范大學初等教育學院)