平行線的性質解題方法例析

平行線的性質與平行線的判定不同，平行線的判定是由角的數量關系來確定線的位置關系，而平行線的性質則是由線的位置關系來確定角的數量關系，平行線的性質與判定是因果倒置的兩種命題.對平行線的判定而言，兩直線平行是結論，而對平行線的性質而言，兩直線平行卻是條件. 已知兩直線平行，由平行線得到角的關系是平行線的性質，包括:①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；③兩直線平行，同旁內角互補.平行線的性質是學習幾何的重點與難點，它是研究平行線及直線平行的繼續，是以后研究平移等內容的基礎，是“空間與圖形”的重要組成部分.平行線性質的應用主要體現在以下三個方面：一是要求學生掌握平行線的三個性質，經過對比后，要求學生能夠理解平行線的性質和判定的區別與聯系；二是要求學生通過對實際問題的簡單探究，訓練并提高學生發現問題、分析問題、解決問題和逆向思維等方面的基本能力，要求學生能應用平行線的性質進行簡單的推理論證；三是要求學生通過演練綜合應用題，不僅能夠區別平行線的性質和判定，而且能夠靈活運用平行線的性質.下面筆者就針對有關平行線的性質應用問題舉例談談解題方法，以期共同進步，教學相長.

例1：已知：如圖，直線a∥b.

求證：（1）∠1=∠6；（2）∠1+∠2=180°；（3）∠2+∠4+∠3+∠6=360°.

證明：（1）∵a∥b（已知） ，

∴∠1=∠3（兩直線平行，同位角相等） .

又∵∠3=∠6（對頂角相等） ，

∴∠1=∠6 .

（2）∵a∥b（已知） ，

∴∠1=∠3（兩直線平行，同位角相等） .

又∵∠5+∠3＝180°（鄰補角的定義），

∴∠1+∠5＝180° .

（3）∵a∥b（已知），

∴∠1=∠3，∠4=∠5（兩直線平行，同位角相等），

∴∠2=∠5（兩直線平行，內錯角相等）.

又∵∠5+∠3=180°，∠5+∠6=180°（鄰補角的定義），

∴∠2+∠4+∠3+∠6=（∠5+∠3）+（∠5+∠6）=180°+180°=360°.

即：∠2+∠4+∠3+∠6＝360°.

解析：這里運用了平行線的性質：（1）兩直線平行，同位角相等；（2）兩直線平行，內錯角相等，對頂角相等，以及臨補角的定義和等量代換等性質.如果不能牢記這些基本知識，就很難進行推理論證，所以要把這些性質熟記在心，并注意把性質與判定區別開來，而且還要學會使用因果推理論證的方法.“因”就是條件，“果”就是結論.

例2：如圖，如果∠1＝∠2，∠C＝∠D，那么∠A＝∠F嗎？為什么？

分析：要使∠A＝∠F，必須DF∥CA，因為如果DF∥CA，就有∠A＝∠F，那么在什么情況下DF∥CA呢？于是就會想到前面學過的平行線的判定定理，看看DF和CA有沒有平行的可能.根據已知條件可知，∠2和∠3互為對頂角，∠2＝∠3，再由已知條件∠1＝∠2可得∠1＝∠3，而∠1和∠3是一對同位角，于是由平行線的判定定理可知BD∥CE（同位角相等，兩直線平行），下面再根據平行線的性質“兩直線平行，同位角相等”，即可得到∠4＝∠C；又因為已知∠C＝∠D，所以我們可以得到∠4＝∠D，于是可證明DF∥CA，從而可進一步推出∠A=∠F.

解：結論：∠A＝∠F，道理如下：

∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3 （對頂角相等）.

∴∠1＝∠3.

∴BD∥CE （同位角相等，兩直線平行）.

∴∠4＝∠C（兩直線平行，同位角相等）.

又∵∠C＝∠D，

∴∠4＝∠D，

∴DF∥CA （內錯角相等，兩直線平行）.

∴∠A＝∠F （兩直線平行，內錯角相等）.

例3：如圖，在△ABC中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BC∥ED，BE是∠ABC的平分線，那么∠BED＝∠ADF嗎？

分析：由于BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以∠AFD＝∠AEB＝90°，根據平行線的判定定理可知：DF∥BE，根據平行線的性質定理可知：∠ADF＝∠ABE，（兩直線平行，同位角相等），∠BED＝∠FDE（兩直線平行，內錯角相等）；再由已知條件BC∥ED，可知∠ADE＝∠ABC（兩直線平行，同位角相等），∠BED＝∠EBC（兩直線平行，內錯角相等）；BE是∠ABC的平分線，∠ABE＝∠EBC（平分線的性質），所以可推出∠CBE＝∠FDE，∠ADF＝∠FDE，于是可知∠BED＝∠FDE＝∠ADF，即：∠BED＝∠ADF.

解：結論：∠BED＝∠ADF，道理如下：

∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F ，

∴∠AFD＝∠AEB＝90°（垂直的定義）.

∴DF∥BE（同位角相等，兩直線平行）.

∴∠ADF＝∠ABE（兩直線平行，同位角相等），

∠BED＝∠FDE （兩直線平行，內錯角相等）.

又∵BC∥ED（已知），

∴∠ADE＝∠ABC（兩直線平行，同位角相等） ，

∠BED＝∠EBC（兩直線平行，內錯角相等）.

∵BE是∠ABC的平分線，

∴∠ABE＝∠EBC（平分線的性質），

∴∠BED＝∠CBE＝∠FDE，∠FDE＝∠ADF＝∠ADF（等量代換），

∴∠BED＝∠ADF.

根據上述綜合應用平行線性質解答有關問題的方法可知：同學們在解答這類問題時，一定要牢牢掌握平行線的性質，知道平行線性質的來由，牢牢把握平行線的判定與性質的區別，而且能在推理過程中正確地應用它們，并注意文字語言、圖形語言、符號語言間的相互轉化.還要懂得幾何中的計算往往要說理，這就要求學生不僅要熟悉解答幾何計算題的格式和要求，還要懂得由已知條件推得一系列新結論的推理方法.對于簡單的題目，能做到想得明白，寫得清楚，書寫規范；對于較難的題目，要與圖形結合，從圖形中找出解決問題的入手點，進行探究思考、推理證明.另外，在解題過程中一定要清楚每一步推理的依據，嚴格按照解題的格式和要求去做.

【附典型訓練題】：

1.如下圖，直線AD與AB、CD相交于A、D兩點，EC、BF與AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C.求證：∠A＝∠D.

2.如下圖，若直線AB∥ED，請你探求∠B、∠C、∠D之間的數量關系，并說明理由.

3.如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角之間有怎樣的數量關系？請說明你的理由.

4.如下圖，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO、CO平分∠ABC和∠ACB，DE過O點，且DE∥BC，求∠BOC的度數．

5.如下頁左上圖，AB∥CD，EF分別交AB，CD于M、N，∠EMB＝50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G.求∠1的度數.

6.如下圖，已知AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，那么AE與CE有什么關系呢？請你在得出結論后，用一句話把題設與結論完整地總結出來，作為有用的命題.

【答案與提示】：

1.證明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠BMA（對頂角相等），

∴∠1＝∠BMA ，

∴CE∥BF，

∴∠B+∠BEC＝180°.

又∵∠B＝∠C

∴∠C+∠BEC＝180°，

∴AB∥CD（同旁內角互補，兩直線平行），

∴∠A＝∠D（兩直線平行，內錯角相等）.

2.解：結論是∠C+∠D-∠B＝180°.理由如下：

如下圖，過點C作CF∥AB，則∠B＝∠2.

∵AB∥ED，CF∥AB，

∴ED∥CF（平行于同一條直線的兩直線平行），

∴∠1+∠D＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

而∠1=∠BCD-∠2＝∠BCD-∠B，

∴∠BCD-∠B+∠D＝180°，即∠BCD+∠D-∠B＝180°.

[注：平行線CF是聯系AB、DE的橋梁，本題還有其他做法.]

3.解：結論是這兩個角相等或互補.理由如下：

如下圖，∠1與∠2、∠1與∠3的兩邊分別平行.

∵AB∥CD，AF∥CE，

∴∠1=∠4，∠4=∠2（兩直線平行，內錯角相等），

∴∠1=∠2 ，

又∵∠2+∠3=180°，

∴∠1+∠3=180°.

從而∠1=∠2，∠1+∠3=180°.

[注：解答本題應分情況討論，全面考慮.]

6.結論：如果兩條平行線被第三條直線所截，那么兩個同旁內角的平分線就互相垂直.解題提示：過E作EM∥AB交AC于M，利用平行線的性質：（1）兩直線平行，內錯角相等；（2）兩直線平行，同旁內角互補，接下去根據已知條件：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，即可推出結論.