數(shù)學(xué)教學(xué)在變換中創(chuàng)新

現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)在考查知識(shí)的同時(shí)，也加大了對(duì)學(xué)生思維能力的考查.許多問(wèn)題需要學(xué)生憑借靈活的思維去獨(dú)立解決，這顯然不是題海戰(zhàn)術(shù)所能應(yīng)付得了的.培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)自我的獨(dú)立思維解決問(wèn)題的能力應(yīng)始終是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，也是落腳點(diǎn).為此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師不僅要精心選題，更要善于變換問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三的思維方法，觸類旁通，提高教學(xué)質(zhì)量.

一、逆向變換

所謂逆向變換，是指將已知條件與未知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，或?qū)⒁恍?shù)學(xué)概念、定理、公式進(jìn)行逆向應(yīng)用.

例1：已知一個(gè)三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，證明頂點(diǎn)P在平面的射影是底面ABC的垂心.

變換：如果一個(gè)三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P，在底面ABC的射影是垂心，能否推出三條側(cè)棱兩兩垂直？

通過(guò)這種變換，可使學(xué)生進(jìn)一步明確三組對(duì)棱兩兩垂直與三條對(duì)棱兩兩垂直的區(qū)別以及兩條件的強(qiáng)弱，從而澄清某些模糊認(rèn)識(shí).

例2：已知數(shù)列{An}是等比數(shù)列，且s3、s9、s6成等差數(shù)列，證明a2、a8、a5成等差數(shù)列.

變換1：已知數(shù)列{An}是等比數(shù)列，且a2、a8、a5成等差數(shù)列，判斷s3、s9、s6成等差數(shù)列.

變換2：已知數(shù)列{An}是等比數(shù)列，則s3、s9、s6成等差是a2、a8、a5成等差的什么條件？

逆向變換對(duì)于鍛煉學(xué)生的逆向思維具有很大作用，特別是對(duì)一些概念的判斷題.

二、類比變換

類比變換是由數(shù)學(xué)問(wèn)題甲聯(lián)想到與它類似的某個(gè)問(wèn)題乙，然后根據(jù)乙所具有的某種性質(zhì)，來(lái)判斷或確定甲所具有的性質(zhì).要引起警惕的是，類比變換前后的問(wèn)題形式上往往具有某種相似性，但卻有可能是本質(zhì)上完全不同的兩個(gè)問(wèn)題，此時(shí)特別要防止出現(xiàn)負(fù)遷移現(xiàn)象.

例3：求曲線y=x3+3x在點(diǎn)P(-2，-14)處的切線方程.

解：因原題中的點(diǎn)在曲線上，故所求切線方程的斜率為k=f′(-2)，所以方程是y-f(-2)=f′(-2)(x+2)，即15x-y+16=0.如果上課僅到此為止，學(xué)生根本不感興趣，也失去了該題潛在的解題功能.現(xiàn)作一下微小變動(dòng)：

變換：求過(guò)點(diǎn)p(-2，1)且與曲線y=x3+3x相切的切線方程.

學(xué)生的解答幾乎如出一轍:

錯(cuò)解：由f(x)=3+3得切線的斜率為k=f′(x)，則過(guò)點(diǎn)p(-2，1)的曲線方程為y-1= f′(-2)（x+2），即y=15x+31.

錯(cuò)解分析：變換后點(diǎn)P不在曲線上，故其切線的斜率不再是f′(-2)，往往在此處容易犯審題不清的錯(cuò)誤.

正確解法之一：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(x1，y1)，則所求切線方程是y-(x3+3x1)=（3x2+3)(x-x1)，然后利用切線過(guò)點(diǎn)P的條件確定x1值，最后求得切線方程.

例5：五條線段的長(zhǎng)度分別為1，3，5，7，9，從中任選三條，求能構(gòu)成三角形的概率.

變換1：五條線段的長(zhǎng)度分別為1，3，5，7，9，從中任選三條，求能構(gòu)成銳角三角形的概率.

變換2：五條線段的長(zhǎng)度分別為1，3，3，5，7，從中任選三條，求能構(gòu)成三角形的概率.對(duì)于原題及變換1，可讓學(xué)生進(jìn)一步明確構(gòu)成三角形以及銳角三角形所要滿足的不同條件.而對(duì)于變換2，能使學(xué)生澄清有關(guān)模糊認(rèn)識(shí)：雖然所取三條線段1，3（1），5及1，3（2），5的長(zhǎng)度相同，但屬于不同的取法.

三、延伸變換

延伸變換是指在原問(wèn)題上進(jìn)一步挖掘，深化.如果習(xí)題教學(xué)僅限于解決此題，就容易形成教學(xué)封閉，難以發(fā)展學(xué)生的思維能力，而習(xí)題的延伸變換可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力.但在教學(xué)中要注意延伸得當(dāng)，要顧及學(xué)生的接受能力.

通過(guò)對(duì)例6的延伸、演變，可使學(xué)生始終處于愉快的探索狀態(tài)，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，啟發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)，同時(shí)亦將與該問(wèn)題相關(guān)的內(nèi)容研究得十分透徹.這種變換經(jīng)常應(yīng)用于對(duì)課本例題的深入研究.我們常說(shuō)高考題源于課本，主要有兩種方式，一種是原型題，即將課本中的例題原封不動(dòng)或稍作改編作為試題；另一種是演變題，即以課本中的例題為背景，采用科學(xué)的方法變換出來(lái)的真命題.我們上面所講的延伸變換就是第一種方式.

四、增障變換

在原問(wèn)題中，設(shè)置一些干擾原問(wèn)題解決的障礙因素，這種變換方式稱為增障變換.這些干擾因素有的使問(wèn)題的解決變得不具體，有的是多余刺激，這些都增加了解決問(wèn)題的難度，但這種變換能夠鍛煉學(xué)生的審題能力和排除障礙能力，亦能增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和解題的嚴(yán)密性.

例7：解關(guān)于x不等式x2ax+1＞0.

變換：解關(guān)于x不等式ax+1＞0.

顯然此題的難度變大了，不確定的因素變多了，它不僅要討論Δ的正負(fù)，還要討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，因而該問(wèn)題的解決就比原題困難了. 五、組合變換

事實(shí)上一些較綜合的數(shù)學(xué)習(xí)題都是由幾個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題有機(jī)組合而成的.重視數(shù)學(xué)問(wèn)題的組合，有利于提高學(xué)生的綜合解題能力.

當(dāng)然，習(xí)題的變換遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這幾種，只要在教學(xué)中不就題論題，能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的、有針對(duì)性的變換或進(jìn)行適當(dāng)延伸，就一定能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，同時(shí)也可大大提高教師的教學(xué)水平.

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編輯/張燁