淺議費馬原理在直線運動最短時間問題中的應用

費馬原理最早由法國科學家皮埃爾#8226;德#8226;費馬在1660年提出，又名“最短光時”原理。它是幾何光學的基本定理，用變分法可以導出高中階段所學的幾何光學定律：光在真空中沿直線傳播、光的反射定律和光的折射定律。若將費馬原理應用到求解直線運動的最值問題中，會有意想不到的效果。

圖1

【例1】 如圖1， 樹枝上P點停著一只烏鴉，地面上有幾個小蟲，那么，烏鴉從樹枝上飛下來吃地上的哪條小蟲再飛到對面的籬笆墻上Q點，它飛行的路程最短。

解析：將地面視作平面鏡，籬笆上的Q點在鏡子中的像Q′點關于鏡面對稱，PQ′兩點之間直線段距離最短，PQ′交鏡面于O點，OQ=OQ′，從圖中可以看出，烏鴉選擇右邊第三只小蟲，飛行路程最短。

【例2】 （第20屆全蘇中學生物理奧賽題）快艇系在湖面很大的湖的岸邊（湖岸線可認為是直線），突然系艇的繩松脫，風吹著快艇以恒定的速度v=2.5km/h沿岸與湖成θ=15°的角漂去。若人沿岸以速度v1=4km/h行走或在水中以v2=2km/h游去，問能否追上快艇？當快艇速度最大為多大時總可以追上？

本題除《數理天地》2007年第10期和《數理化學習#8226;高中版》2010年第4期馬樹奇老師給出的幾種解法以外，還可以利用光的全反射性質求解。

圖2

解：假設快艇漂至P點，將人比作一束光線，人在河岸上行走的速度相當于光速，在湖里面游泳的速度相當于光在介質中的速度v，根據費馬原理可知，光總是選擇最短時間的路徑傳播，當人恰好追上快艇時：

臨界角：sinC=1n=12，C=60°。

代入解得：vM=22（km/h）。

所以當快艇的漂行速度與湖岸成15°夾角，速度不大于22km/h時，人都能追上快艇。

【例3】 已知：汽車在草地上的行駛速度為v1=40km/h，在沙漠中的行駛速度為v2=30km/h，假設草地與沙漠的分界線平直，若汽車從草地中距分界線垂直距離為3km的A位置出發前往沙漠中距分界線垂直距離為8km的B位置，A位置和B位置與分界線的垂足距離BC為10km，求汽車應該在什么位置過分界線用時最短？

解法一：

假設汽車從CD之間的某點O點通過時

t=AOv1+OBv2

=x2+3240+(10-x)2+8230

求解x為在0至10km之間某值時，t取最小值。但此方程的求解遠遠超過了中學生的解題能力。

解法二：

如果將汽車比作光線的話，那么草地和沙漠的分界線就相當于空氣和某種介質的界面（如圖4），此介質的折射率n=4/3。根據光的折射定律可知：

n=sinisinr=xx2+32

10-x(10-x)2+82=43，

化簡后可得：x4-14x3+49x2-288x+1008=0，

最后整理得：(x-4)(x3-10x2+9x-252)=0，

得一解：x1=4(km)。

結合高中數學必修1中函數與方程的關系：方程f(x)=0的解對應著函數y=f(x)與x軸交點的橫坐標。方程x3-10x2+9x-252=0在［0，10］是否有解，可轉化為判斷函數f(x)=x3-102+9x-252在［0，10］內與x軸有沒有交點；利用導數，研究該函數的性質，得出該函數在區間［0，10］上的極小值即最小值大于0，從而得到函數f(x)=x3-10x2+9x-252在［0，10］內與x軸沒有交點，即方程x3-10x2+9x-252=0在［0，10］內無解，所以汽車在距出發點在分界線上的垂足4km的位置過分界線用時最短。

通過以上分析可知，在解決直線運動中的最短時間問題時，將物體的運動比作光的傳播，利用“最短光時”原理，可以直接確定運動路徑，從而簡化解題過程，起到事半功倍的效果。

參考文獻

［1］竹錦霞.費馬原理與運動性最值問題探討［J］.四川文理學院學報，2007（3）.

［2］馬樹奇.妙趣橫生源于“圖”［J］. 數理化學習，2010（4）.

［3］馬樹奇.一道賽題的簡捷解法［J］.數理天地，2007(10).

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(責任編輯 黃春香）