“解方程組的方法”在求數列通項公式中的應用

求數列的通項公式在《數列》章節是最基本的要求，同時也是本章節的重難點，在以遞推公式法給出的數列中，有一類形如“a1=a，an+1=Aa+f(n)(A≠0且A≠1)”的數列，多次在高考題中出現，考生大多數反映較棘手.因此本人結合自身教學實踐，通過幾個具體的例子對這一類數列進行探求，給出一種快捷的方法求該類數列的通項公式——解方程組的方法.

【例1】 已知數列｛an｝，滿足a1=1，an+1=3an+4n，求數列｛an｝的通項公式.

解析：由an+1=3an+4n，①

有an+1-3an=4n=4×4n-1=4×(an-3an-1)，

則an+1-4an=3(an-4an-1)(n≥2)，

即an+1-4anan-4an-1=3(n≥2)，

又n=1，a2=3a1+4=7≠0，

則數列｛an+1-4an｝是以3為首項，3為公比的等比數列，則an+1-4an=3×3n-1，②

結合①②解關于an與an+1的方程組an+1=3an+4n，an+1-4an=3×3n-1，

得an=4n-3n.

【例2】 (2004年全國高考題)已知數列｛an｝，滿足a1=1，an=2an-1+2(-1)n-1(n≥2)，求數列｛an｝的通項公式.

解析：由an=2an-1+2(-1)n-1，①

有an-2an-1=2(-1)n-1=-2(-1)n-2=-(an-1-2an-2)(n≥3)，

則an+an-1=2(an-1+an-2)(n≥3)，即an+an-1an-1+an-2=2(n≥3)，

又n=2時，a2=2a1-2=0，則a1+a2≠0，

所以數列｛an+1+an｝是以2為首項、2為公比的等比數列，則an+an-1=2n-1，②

結合①②解關于an與an-1的方程組an=2an-1+2(-1)n-1，an+an-1=2n-1，

得an=2(-1)n-1+2n3.

【例3】 變式引申：(人教版必修五《數列》章節復習參考題B組第6題)已知數列｛an｝，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)，求數列｛an｝的通項公式.

解析：設an+λan-1=k(an-1+λan-2)(n≥3)，

則an=(k-λ)an-1+kλan-2(n≥3)，

結合已知an=2an-1+3an-2(n≥3)，有k-λ=2，kλ=3，

則an+an-1=3(an-1+an-2)(n≥3)，①

或an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3)，②

又a2+a1=7≠0，且a2-3a1=-13≠0，

由①知數列｛an+1+an｝是以為7首項、3為公比的等比數列，

由②知數列｛an+1-3an｝是以-13為首項，-1為公比的等比數列，

則an+1+an=7×3n-1，an+1-3an=-13×(-1)n-1，

解關于an與an+1的方程組得an=7×3n-1+13×(-1)n-14.

(責任編輯 金 鈴）