高考數學中涂色問題的解題策略

涂色問題包含著豐富的數學思想.解決涂色問題的方法技巧性強且靈活，

主要利用排列、組合中的兩個基本原理解決涂色問題.（一）線形區域涂色問題——分步計數原理；（二）環形區域涂色問題——分類計數原理.

主要分類方法：（1）根據涂色所用顏色種數進行分類；（2）根據可同色區域（不相鄰區域）是否涂相同顏色進行分類.

【例1】 用四種不同顏色給圖1中的4個區域涂色，如果每一個區域涂一種顏色，相鄰兩區域不能涂同一種顏色，共有 種不同的涂色方法.

分析：方法一：從A區域開始按A、B、 C、 D順序涂色，A區域有4種方法；B區域因與A區域相鄰，只要與A區域不同色，有3種方法；C區域只要與前面的B區域不同色，有3種方法；D區域只要與前面的C區域不同色，有3種方法.

所以根據分步計數原理即乘法原理，得涂色方法總數為4×3×3×3=108.

方法二：可同色區域為A與C，A與D，B與D.依題意只能選用4種顏色，至少用2種顏色，要分三類：

（1）用4色：A與C、A與D、B與D均不同色，則有A44；

（2）用3色：有且只有兩個區域同色，即A與C同色，或A與D同色，或B與D同色，共3種情況，則有3A34；（3）用2色：A與C同色、B與D同色，則有A24；

根據涂色種數進行分類，由加法原理得涂色方法總數為A44+3A34+A24=108.

通過比較得知方法一較簡單，所以線性區域的涂色問題，利用分步計數原理依次對各區域進行涂色會比較容易.

適當變形例1，將線形涂色問題自然過渡到環形涂色問題.

【例2】 用四種不同顏色給圖2中的4個區域涂色，如果每一個區域涂一種顏色，相鄰兩區域不能涂同一種顏色，共有 種不同的涂色方法.

圖2

分析：四個區域首尾相連的簡單環形區域的涂色問題，是涂色問題另一常見問題.

可同色區域為A與C，B與D.

依題意只能選用4種顏色，至少用2種顏色，要分三類：

（1）用4色：A與C不同色、B與D不同色，則有A44；

（2）用3色：有且只有兩個區域同色，即A與C同色，或B與D同色，則有C12A34；

（3）用2色：A與C同色、B與D同色，則有A24.

所以根據加法原理得涂色方法總數為A44+C12A34+A24=84.

【例3】 如圖3，一個地區分為5個行政區域，現給地圖涂色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有多少種？

分析：可同色區域1與3，2與4.

依題意只能選用4種顏色，至少用3種顏色，要分兩類：

圖3

（1）用4色：有且只有兩個區域同色，即1與3同色，或2與4

同色，則有C12A44；

（2）用3色：1與3同色、2與4同色，則有A34.

所以根據加法原理得涂色方法總數為C12A44+A34=72.

變式：四棱錐P-ABCD，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？

把立體圖形的涂色問題轉化為環形區域涂色，問題就迎刃而解.

將例3的第5區域分成兩部分，就得到2003年高考江蘇卷的涂色問題.

【例4】 （2003，江蘇）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分6個部分（如圖4）.現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有 種.

分析：依題意只能選用4種顏色，至少用4色，具體4色的用法要分五類：（1）2與5同色、3與6同色，則有A44；（2）2與5同色、4與6同色，則有A44；（3）3與5同色、2與4同色，則有A44；（4）3與5同色、4與6同色，則有A44；（5）3與6同色、2與4同色，則有A44.所以根據加法原理得涂色方法總數為5A44=120.

涂色問題是一個開放性的問題，它能充分拓寬學生的思路，讓學生根據所學的知識應用于實際問題中，培養學生勇于探索、勇于創新的精神.

(責任編輯 金 鈴）