談談解整數問題的幾種方法

由于整數問題具有獨特的性質，所以這類問題以題目新、富于變化、解題技巧強、解題方法靈活而成為各級數學學習的難點和熱點.下面就通過一些實例對這類問題的求解方法做初步的探討.

一、 直接討論

【例1】 求方程1x+1x+1+1x+2=1312

的整數根.

解析：若去分母，則得到的是三次方程，不易求解.考慮到x為整數，且1312＞1，可直接討論如下：

顯然x≠0，x≠－1，x≠－2.

當x≤－3時，1x+1x+1+1x+2＜0.

當x≥3時，1x+1x+1+1x+2＜1.

所以得0＜x＜3，即x的取值可能是1或2.

將x＝1和x＝2代入原方程驗證知，x＝2是原方程的根.

【例2】 k為什么整數時，方程

(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x＋54＝0的解都是整數.

解析：當k＝6時，原方程為－27x＋54＝0，這時方程有整數解2.

當k=9時，原方程18x＋54＝0，這時方程有整數解－3.

當k≠6且k≠9時，原方程化為：

［(6-k)x-9］［(9-k)x-6］=0.

解得x1=96-k，x2=69-k.

當6-k等于±1，3，±9時，x1 是整數，這時k等于7，5，3，15，－3.

當9-k等于±1，±2，－3，±6時，x2是整數，這時k等于10，8，11，7，12，15，3.

綜上所述，當k的值為3，6，7，9，15時，原方程的解都是整數.

二、 轉化為等價命題

【例3】 怎樣的整數a、b、c滿足不等式：

a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c.

解析：因為不等式的兩邊是整數，所以已知不等式與不等式a2+b2+c2+3≤ab+3b+2c等價，這個等價不等式又可化為

(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.

∴a-b2=0，b2-1=0，c-1=0

∴原不等式有唯一的一組解：

a＝1，b=2，c=1.

三、 變更主元

【例4】 求正整數a，使x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個整數根.

解析: 由已知方程得x≠－2，將方程化為：

a=2(x+6)(x+2)2≥1.

解得－4≤x≤2，且x≠－2.

此時x=－4，－3，－1，0，1，2.

與此對應a=1，3，6，10.

四、 奇偶性分析法

【例5】 求方程(x2－x－1)x+10=1的整數解.

解析：當x＋10＝0時，經檢驗x＝－10是方程的整數解.

當x＋10為奇數時，x2－x－1是1的奇次方根，有x2－x－1＝1，解得x＝－1.

當x＋10為非零偶數時，同理有x2－x－1＝±1，解得x=0，2.

故所求整數解是x=0，2，－1，－10.

【例6】 若正整數x，y滿足x2－y2＝64，求正整數對(x，y).

解析：原方程可化為(x＋y)(x－y)＝64.

因為x、y都是正數，則x＋y，x－y都是64的正整數約數，x＋y和x－y有相同的奇偶數，且x＋y＞x－y，所以只有

故滿足條件的正整數對（x，y）為兩個：（17，15），（10，6）.

五、 特例探路

【例7】 證明

11…11n個

55…5(n-1)個6

為完全平方數.

解析：取n=1，2，3時，則原數值分別是：

n=1時，16＝42＝(3+1)2.

n=2時，1156＝342＝(33+1)2.

n=3時，111556＝3342＝(333+1)2.

我們發現上述各數都是兩個數的平方，其中一個加數的各位數字都是3，3的個數等于n，另一個加數是1，于是可知原題是要證明

(責任編輯 金 鈴）