例析函數概念中易混淆的幾個問題

函數是中學數學的重點內容，也是難點內容，其中有許多概念大同小異.在應用函數概念的過程中，如果對概念的實質把握不準，就會差之毫厘，謬以千里.本文就函數概念中幾組易混淆的概念加以剖析.

一、定義域與有意義

【例1】 （1）設函數f(x)=lg（1+a#8226;4x）的定義域為（－∞，1），求a的取值范圍.

（2） 設函數f(x)=lg（ 1+a#8226;4x）在（－∞，1）上有意義，求a的取值范圍.

解：（1） 由于函數f(x)的定義域為（－∞，1），故不等式1+a#8226;4x＞0的解集是（－∞，1），由不等式、方程思想知x=1是方程1+a#8226;4x＝0的根，代入得a=－14.

（2）由于函數f(x)在（－∞，1）上有意義，故不等式1+a#8226;4x ＞0的解集包含（－∞，1），從而轉化為a＞-(14)x 在（－∞，1）內恒成立.令g(x)=-(14)x ，

因為函數g(x)在（－∞，1）上是增函數，所以a≥g(1)＝－14.

剖析：給定函數的定義域，往往轉化為解不等式處理，借助不等式解集的端點值恰好是不等式對應的方程的根求解.給定函數在某區間上有意義，往往轉化為恒成立問題加以解決.

二、有解與恒成立

【例2】 （1）已知函數f(x)=x+1x，若f(x)＞a在［2，4］上有解，求實數a的取值范圍.

（2）已知函數f(x)=x+1x，若f(x)＞a在［2，4］上恒成立，求實數a的取值范圍.

解：（1） 要使f(x)＞a在［2，4］上有解，只需a＜f(x)max即可，而f(x)=x+1x在［2，4］上是增函數，因此f(x)max=f(4) =174，故a＜174.

（2）要使f(x)＞a在［2，4］上恒成立，只需a＜f(x)min即可，而f(x)min=f(2)=52 ，

故a＜52.

剖析：a＜f(x)有解a＜f(x)max，a＞f(x)有解a＞f(x)min；

a＜f(x)恒成立a＜f(x)min，a＞f(x)恒成立a＞f(x)max.

三、定義域為R與值域為R

【例3】 已知函數f(x)=lg(x2+2x+a).

（1）若函數f(x)的定義域為R ，求實數a的取值范圍.

（2）若函數f(x)的值域為R ，求實數a的取值范圍.

解：（1）依題意，x2+2x+a＞0對一切x∈R恒成立，故Δ＝4－4a＜0，得a＞1.

（2）依題意，只要u(x)=x2+2x+a 能取到（0，＋∞）內的所有值，故Δ＝4－4a≥0，

得a≥1.

剖析：f(x)=lgu(x)的定義域為R ，即u(x)＞0恒成立；

f(x)=lgu(x)的值域為R ，即u(x)能取到（0，＋∞）內的所有值.

四、自對稱與互對稱

【例4】 （1）設函數y=f(x)的定義域為R，則函數y=f(1+x)與函數y=f(1-x)的圖象關于 對稱.

（2）設函數y=f(x)的定義域為R，對任意的x，恒有f(1+x)=f(1-x)，則函數y=f(x)的圖象關于 對稱.

解：（1） 設P(x0，y0)是y=f(1+x)上的任意點，則y0=f(1+x0)，又因為P(x0，y0)關于直線x=0的對稱點Q(-x0，y0) 必在函數y=f(1-x)的圖象上，故函數y=f(1+x)與函數y=f(1-x)的圖象關于直線x=0對稱.

（2） 設P(x0，y0)在函數y=f(x)的圖象上，則y0=f(x0)，又因為

f(2-x0)＝f(1+1-x0)=f(1-(1-x0))=f(x0)=y0，所以點Q(2-x0，y0)在y=f(x)的圖象上，而P、Q兩點關于直線x=1對稱，所以y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱.

剖析：函數y=f(a+x)與函數y=f(b-x)的圖象關于直線x=b-a-2=a-b2 對稱.函數y=f(x)對任意x滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關于直線x=a+b2對稱.

以上對函數概念中四種易混淆的概念進行了對比.教學實踐表明，學生對似是而非的數學概念易混淆的原因是沒有抓住概念的本質特征.因此，在教學過程中，要引導學生揭示概念的本質特征，并把本質特征從非本質特征中抽象出來，從而完整地認識概念，正確地解決問題.

(責任編輯 金 鈴）