數(shù)列解題中常見錯(cuò)誤分析

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)也是歷年高考的熱點(diǎn).學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中卻經(jīng)常會(huì)因?yàn)楦拍畈磺濉⒑雎詶l件、思維混亂、考慮不周等原因而錯(cuò)解題目.現(xiàn)就常見的典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析.

一、定義理解不清，導(dǎo)致判斷出錯(cuò)

【例1】 已知數(shù)列｛an｝，a1＝1，且an+1-an=n(n∈N*)，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

錯(cuò)解：∵an+1-an=n(n∈N*)，∴｛an｝是以1為首項(xiàng)、n為公差的等差數(shù)列，

則an=1+(n-1)n=n2-n+1.

錯(cuò)因剖析：有些學(xué)生看見an+1-an=n(n∈N*)的結(jié)構(gòu)就聯(lián)想到an+1-an=d(n∈Z*)，沒有意識到等差數(shù)列定義中要求后項(xiàng)減前項(xiàng)是同一個(gè)常數(shù)這一條件.只是記住了公式的外形，而沒有領(lǐng)會(huì)公式內(nèi)在的本質(zhì)要求，所以造成了把變量當(dāng)成常量的錯(cuò)誤.

正解：∵an+1-an=n(n∈Z*)，

∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+(n-1)，

即an-a1=1+n-12#8226;(n-1)，∴an=n22-n2+1

.

二、弄錯(cuò)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，導(dǎo)致失誤

【例2】 已知數(shù)列1，4，7，10，…，3n+7，…其中后項(xiàng)比前項(xiàng)大3，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

錯(cuò)解：數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=3n+7.

錯(cuò)因剖析：有些學(xué)生看見含有n的式子，就認(rèn)為該項(xiàng)就是此數(shù)列的第n項(xiàng)，而實(shí)際上題目給出的該項(xiàng)是已經(jīng)化簡了的結(jié)果，并沒有按照數(shù)列通項(xiàng)公式最原始的結(jié)構(gòu)給出.

正解：數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以an=3n-2.

三、對等比數(shù)列的公比考慮不周全，出現(xiàn)漏解

【例3】 已知等比數(shù)列｛an｝中，a3＝４，S3＝12，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

錯(cuò)解：a3=a1q2=4，S3=a1(1-q3)1-q=12，

解得q＝-12.

∴an=a3qn-3=4×(-12)n-3=16×(-12)n-1．

錯(cuò)因剖析：以上解法錯(cuò)誤在于忽視了等比數(shù)列的公比q＝１這一特殊情況.本題中q＝１雖不滿足S3=a1(1-q3)1-q，但當(dāng)q＝１時(shí)，an=a3=4.滿足S3=a1+a2+a3=12，所以q＝１符合題意．故數(shù)列通項(xiàng)公式為an=4或an=16×(-12)n-1．

四、用公式an=Sn-Sn-1求通項(xiàng)時(shí)，忽視條件ｎ≥２

【例4】 已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且log12Sn=n+12，則數(shù)列｛an｝是（）.

A.公比為2的等比數(shù)列B.公差為2的等差數(shù)列

C.公比為12的等比數(shù)列 D.既非等差也非等比數(shù)列

錯(cuò)解：∵an=Sn-Sn-1=

-(12)n+12，

∴an+1an=12.

選C.

錯(cuò)因剖析：對公式成立的條件沒有記住，an=Sn-Sn-1對n≥2成立，而對n=1時(shí)卻未必成立.學(xué)生在解題的過程忽略了n≥2這一隱藏條件，而導(dǎo)致了判斷的錯(cuò)誤.

正解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=(12)32；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-(12)n+12.

∵a1=(12)32≠-(12)12，

∴ an(12)32(n=1)；

-(12)n+12(n≥2).

正確答案為D.

五、忽視整體轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)致過程出錯(cuò)

【例5】 設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若a5a3=59，則S9S5等于（）.

A.1 B.-1 C.2 D.12

錯(cuò)解：∵a5a3=59，即a1+4da1+2d=59，∴a1+4d=5 ，a1+2d=9．∴d=-2，a1=13．

∴S9S5=9×13+9×82×(-2)5×13+5×42×(-2)=1．

錯(cuò)因剖析：本題的結(jié)果雖然是正確的，但過程錯(cuò)誤．由a1+4da1+2d=59，我們可以令a1+4d=5t，a1+2d=9t(t≠0)，再進(jìn)行下面的計(jì)算.不過這樣做太繁瑣，下面我們結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)給出一種簡便的方法.

正解：∵a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴S9S5=

．故選A．

上述簡單地列舉了數(shù)列學(xué)習(xí)中學(xué)生常犯的一些錯(cuò)誤.要想在平常的練習(xí)、考試中少出錯(cuò)誤，關(guān)鍵在于吃透定義，深刻理解數(shù)列性質(zhì)的內(nèi)涵與外延，對題型多歸納反思總結(jié)，同時(shí)，做一些必要的針對性練習(xí)，對于自己在練習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行深入思考，可避免再次出現(xiàn)類似錯(cuò)誤.

(責(zé)任編輯 金 鈴）