把握隱含條件 提高解題能力

如何在教學中培養學生挖掘隱含條件的能力，是教師的重要任務，教師在教學中要引導學生在讀題、審題時做細致認真地分析，深刻理解題意，對試題中的每句話、每個條件，甚至每個關鍵性詞語都要加以認真推敲，并與已學過的概念、定理、性質和意義等知識有機地聯系起來，就能從試題的字里行間中挖掘出解題所需要的隱含條件.現舉一些含有隱含條件的問題進行說明.

一、基本概念中的隱含條件

在初中數學教學中，教師對概念的教學很重視，通過直觀感知建立數學概念，讓學生了解和掌握數學概念，但學生對概念往往是機械地記憶，并不是真正理解，對概念的一些本質東西并沒透切理解，結果在解有關概念的題目時出現錯誤.例如：當x為何值時，分式|x|-6x2+5x-6的值是零.在這個問題中學生是這樣解的：由|x|-6=0得x=±6，所以當x=±6時，分式的值是零.究其原因，學生對“分式的值”這個概念沒有真正掌握.解法中忽視了分式的分母為零這一隱含條件，分式的值為零是分子為零而分母不為零，因此從分子為零解出的x的值必須滿足分母不為零，如出現使分母為零的值必須舍去.故正確的答案應為x=6.

二、定義中的隱含條件

初中數學定義中有許多規定或附加說明，有些規定在教材中往往以附加說明、附加條件，甚至以小注的形式出現，這些都是數學中的一些重要細節，而這些細節又往往不為大多數學生所注意，結果在解與之相關的題目時出現問題.如有這樣一道題：已知方程（m+2）x2+2x-1=0有兩個實數根，求m的取值范圍.學生在解題時看到方程有兩個實數根不就是Δ≥0嗎？因而得解：由題意得Δ=4-4(m+2)(-1)≥0，解得m≥－3.這道題目中有一個重要的條件就是方程有兩個實數根.“兩個”就意味著這個方程是一元二次方程，隱含條件就是一元二次方程的二次項系數不能為零.而當m=2時，原方程為2x－1=0，這時是一元一次方程，只有一個實數根x=0.5，與題意不合，故上面的答案是錯誤的.正確解法為：因為方程有兩個實根，所以Δ≥0且二次項系數不等于零，從而解出m≥－3且m≠－2.

在一次函數的定義y=kx+b中有“k是常數，且k≠0”，但學生往往只是注意y=kx+b而忽視規定的k≠0，結果在解題時對這一隱含條件不加以考慮，從而導致錯誤.例如：已知一次函數y=(2a+1)x+3－a，且函數圖象與y交于正半軸，求a的范圍.學生這樣解：由題意可知，函數圖象與y交于正半軸，即與y軸交點的縱坐標為正，所以3－a＞0，所以a＜3.顯然，由于只看到明顯條件“函數圖象與y交于正半軸”，而沒注意條件“一次函數”（當a=-12時，不是一次函數），解題時忽視了一次函數y=kx+b中k≠0這個隱含條件，即本題中2a+1≠0，從而a≠-12.

三、求值問題中的隱含條件

代數式在求值時也常常存在隱含條件的問題，有些在代數式的變形過程中存在，有的則是在閱讀理解過程中存在，形形色色.找到并充分地挖掘隱含條件，就能容易并且正確地解題，但如果不能發現隱含條件，解題就容易掉進陷阱，甚至找不到解題的方法或步驟.如不少資料上都有這種類型的題：已知x+y=－4，xy=4，求代數式xy+yx的值.很多學生這樣解：xy+yx=xy+yx=x+yxy=-2

. 可是xy≥0，yx≥0，xy+yx＝－2顯然錯了，原因在于xy+yx=

xy+yx

成立的條件為x＞0，且y＞0，忽略了x＜0 且y＜0這一條件.

四、幾何中的隱含條件

在講解有隱含條件的幾何例題時，要耐心細致地進行分析，每分析一個條件，要對照圖形（對于有些需要自己畫圖的幾何題，更是要注意），數形結合，找出它

所隱含的條件，以逐步培養學生分析問題的能力，使學生很自然地學會并掌握如何根據已

知條件并結合圖形找出相應的隱含條件，為進一步推理論證奠定基礎.

有這樣一題：如圖1，已知△ABC中，AB=AC，以AC為邊作等腰直角△ACD，直∠CAD為角，求證：△DBC∽△DCE.學生是這樣分析的：從題目的直接條件可以發現這兩個三角形有一個公共角∠CDB，另外△DCE中∠ACD=45°，但要△DBC∽△DCE，還需要另

一對角相等或夾這個角的兩組邊對應成比例，但題目中沒有，那么AB=AC=AD又能為所需要的而還沒有（一對角相等或夾這個角的兩組邊對應成比例）的條件起什么作用呢？學生就是不能突破.這就要指導學生從AB=AC=AD中挖掘，結果發現B、C、D在以A為圓心的同一個圓上——隱含條件∠CBD與∠CAD是圓周角與圓心角之間的關系，問題迎刃而解了.

再看這樣一道題：已知△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求BC邊的長.學生由于定勢思維，畫出如圖2這樣的圖形來求解，通過兩個直角三角形分別求出BD＝16，CD＝9，最后得出BC＝BD＋CD＝25.但學生對于題中的高AD這一在圖形位置不確定沒有加以考慮，三角形的高一定在三角形內部嗎？顯然不是，這里三角形的高就是一個既明顯又隱含的條件.事實上還有另一種情形（見圖3），BC＝BD－CD＝７.

五、開放性題目中的隱含條件

開放題也是近來中考的熱點，開放性問題與傳統的的條件完備、結論確定的封閉式的題型不同，條件可以變化，或結論不固定，是培養學生創新意識、創新能力的數學問題.但在開放題中不乏隱含的條件.如有一道中考題：先化簡，再選擇一個你喜歡的數代入求值：2a-(a+1)+a2-1a-1，對于這題，學生先化簡得２a，然后任選一個自己喜歡的數代入求值.由于任選，答案是開放的，可是題目中存在著隱含條件：這個a不能取１，當a＝１代入原式，原式就無意義.

由以上的幾個例題我們可以看出，題中的隱含條件對于解題的正確性起著至關重要的作用，挖掘并利用好隱含條件，使題中的隱含條件明朗化，是正確解題的關鍵.

(責任編輯 金 鈴）