新課程下談高考初等函數(shù)性質(zhì)的突出應(yīng)用

初等函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，是每年高考必考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，隨著新教材課程改革的不斷向前發(fā)展，高考函數(shù)命題已從理論和實(shí)踐上發(fā)生了深刻的變化，給函數(shù)問題注入了生機(jī)和活力.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解，掌握函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)，樹立運(yùn)動(dòng)變化、廣泛聯(lián)系的觀點(diǎn)，巧用函數(shù)思想，整合函數(shù)性質(zhì)，是學(xué)好函數(shù)知識(shí)的關(guān)鍵，是求解函數(shù)題目的途徑.下面結(jié)合案例，探討高考函數(shù)基本性質(zhì)的突出應(yīng)用.

一、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性

函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，主要體現(xiàn)在奇偶性、單調(diào)性常常相互應(yīng)用，軸對(duì)稱性常擴(kuò)展為周期性.函數(shù)軸對(duì)稱、周期性體現(xiàn)在課標(biāo)教材的是三角函數(shù)的模型為載體的相關(guān)性質(zhì)應(yīng)用，但高考函數(shù)有向抽象函數(shù)發(fā)展的趨勢(shì)，因此備考時(shí)一定要引起高度重視.

【例1】 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間［-8，8］上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4= .

評(píng)析:上例考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性的綜合應(yīng)用.解決的方法是數(shù)形結(jié)合的思想，先求周期或?qū)ΨQ軸，然后在周期內(nèi)畫出函數(shù)的草圖，并完善在定義域的圖象，根據(jù)已知關(guān)系在圖象中確定關(guān)系，利用兩函數(shù)的交點(diǎn)，求解問題，具體求解過程用到函數(shù)與方程的思想、函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，這是研究函數(shù)問題的重要思想方法，也是函數(shù)基本性質(zhì)的突出應(yīng)用.

二、函數(shù)圖象與函數(shù)中心對(duì)稱性

【例2】 函數(shù)y=11-x的圖象與函數(shù)y=2sinπx(-2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（）.

A.2 B. 4 C. 6 D.8

評(píng)析:上例反映了函數(shù)的中心對(duì)稱與函數(shù)圖象的內(nèi)在聯(lián)系，表面上看，是兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，實(shí)際上兩個(gè)函數(shù)有著共同的對(duì)稱中心.問題解決的方法是數(shù)形結(jié)合的思想，仔細(xì)觀察，先求對(duì)稱中心，然后在同一坐標(biāo)系畫出要考查的兩個(gè)函數(shù)圖象，根據(jù)已知圖象中確定中心的左側(cè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后利用對(duì)稱性確定共有8個(gè)交點(diǎn).具體求解過程用到函數(shù)圖象草圖的畫法，這說明基本初等函數(shù)的圖象一定要熟練掌握，在平面直角坐標(biāo)系下，準(zhǔn)確、迅速畫出圖象是我們學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的基本技能和基本功.復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)通過圖象能解決就用圖象解決，不能解決另辟蹊徑.這是研究函數(shù)問題的重要思想方法，也是函數(shù)基本性質(zhì)的突出應(yīng)用.

三、以分段函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性

這是一類小題目，但綜合性強(qiáng)，涉及函數(shù)的單調(diào)性判斷、證明、比較大小，求單調(diào)區(qū)間及解含有關(guān)參數(shù)的范圍的不等式.

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-4x+6，x≥0；x+6，x＜0，

則不等式f(x)＞f(1)的解集是（）.

A.(-3，1)∪(3，+∞)B.(-3，1)∪(2，+∞)

C.(-1，1)∪(3，+∞)D.(-∞，-3)∪(1，3) 

評(píng)析：凡涉及函數(shù)、方程和不等式的問題，必須首先考慮定義域.求抽象函數(shù)的奇偶性，要注意含參數(shù)的自變量的取值一定要在定義域， 不能忽視，否則前功盡棄.

四、三角函數(shù)圖象性質(zhì)

【例4】 為了得到函數(shù)y=cos(2x+π3)的圖象，只需要將函數(shù)y=sin2x的圖象（）.

A． 向左平移5π12個(gè)長度單位

B．向右平移5π12個(gè)長度單位

C．向左平移5π6個(gè)長度單位

D．向右平移5π6個(gè)長度單位 

解答：（1）在同一坐標(biāo)系上作出y=cos(2x+π3)和y=sin2x的圖象，然后根據(jù)圖象觀察出將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移5π12個(gè)長度單位得到函數(shù)y=cos(2x+π3)的圖象. （2）找出函數(shù)y=cos(2x+π3)的圖象與函數(shù)y=sin2x的圖象相鄰的最高點(diǎn)，如y=cos(2x+π3)的一個(gè)最高點(diǎn)為（-π6，1），函數(shù)y=sin2x的圖象一個(gè)最高點(diǎn)為（π4，1），所以將y=sin2x的圖象向左平移5π12個(gè)長度單位得到y(tǒng)=cos(2x+π3)的圖象，故選A.

評(píng)析：本題主要是考查三角函數(shù)圖象的平移，利用三角函數(shù)性質(zhì)可將它們化為同名函數(shù)，問題便能解決，這是常規(guī)解題思路.上述兩種解法計(jì)算量小不易出錯(cuò)，數(shù)形結(jié)合，比較快捷.解決的策略主要是周期函數(shù)的特性，三角函數(shù)復(fù)習(xí)還要抓住模型y=Asin(wx+φ)的應(yīng)用意識(shí)，所有的三角誘導(dǎo)公式、和差角公式、二倍角公式都要轉(zhuǎn)化成主要的三角模型，因?yàn)樗男再|(zhì)是已知的.這是對(duì)三角函數(shù)的本質(zhì)理解，又是函數(shù)基本性質(zhì)另一突出應(yīng)用.

(責(zé)任編輯 金 鈴）