逆向思維,數學解題的一種重要思想方法

在初中階段，學生對常用的數學思想方法掌握與否，直接關系到他們以后高中的數學學習.而初中數學常用的思想方法較多，比如數形結合思想、化歸思想等等，本文的“逆向思維”就是其中常用的一種數學思想方法.

一、 逆用平方差公式

【例1】 計算［（a+b）2-(a-b)2］÷2ab.

分析：若此題直接用完全平方公式展開，計算稍為復雜，但把（a+b）2和(a-b)2都看成一個整體，逆用平方差公式進行運算就會簡單得多.

解：原式＝［（a+b）+（a-b）］［（a+b）-（a-b）］÷2ab

=2a×2b÷2ab=2.

【例2】 計算（1-1102）（1-1112）…（1-1202）.

解：原式＝（1+110）（1-110）（1+111）（1-111）……（1+120）（1-120）

＝1110×910×1211×1011×…×2120×1920=910×2120=189200.

二、 正逆用完全平方公式

【例3】 已知14（y-z）2=(x-y)(z-x)，且x≠0，則y+zx= .

解：由已知得(y-z)2=4(x-y)(z-x)，

兩邊展開得y2-2yz+z2=4xz-4yz+4xy-4x2，

移項、合并得4x2+y2+z2-4xz-4xy+2yz=0，

即為(y+z)2-4x(y+z)+4x2=0，

也即是［2x-(y+z)］2=0，

∴2x=y+z，

即y+zx=2.

【例4】 已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002.則a2+b2+c2-ab-bc-ac的值為（）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解：

原式＝12(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=12［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］.

把a、b、c的值代入化簡，得a-b＝-1，b-c＝-1，c-a＝2，

代入上式，原式＝12［(-1)2+(-1)2+22］=3.

三 、逆用冪的運算性質

【例5】 已知8x=5，8y=6，求83x+2y-1= .

解：逆用冪的運算性質得，

83x+2y-1=83x×82y8=(8x)3(8y)28=

53×628=11252.

四 、逆用方程（組）的解

【例6】 如果x=4，y=1

是關于x、y的方程3x-2y+5k=0的解，則k= .

解：利用方程的解的概念，逆用方程的解，把x=4，y=1

代入方程，得3×4-2×1+5k=0，解這個一元一次方程得k=-2.

【例7】 如果方程組mx+ny=10，nx-2my=6

的解是x=3，y=-2，

則m+n= .

分析：利用方程組的解的意義，把解代入方程組，逆用方程組的解轉化已知條件再順解另一方程組，從而求出待定系數（即其他未知數）.

解：∵x=3，y=-2

是原方程組的解，

∴代入得3m-2n=10，3n+4m=6，

解這個方程組，得m=4217，n=-2217，

∴m+n=2017.

五、 逆用不等式（或不等式組）的解（解集）

【例8】 已知關于x的不等式3x+k＞-2的解集如圖所示，求k的值.

分析：由已知圖示出發，逆用不等式的解集，建立一條新的方程求解，這是將方程和不等式結合的常用方法.

解：解關于x的不等式，得x＞-2-k3，

由已知圖示，原不等式的解集為x＞-1，

于是-2-k3=-1，

解這個方程得k=1.

(責任編輯 金 鈴）