函數思想在解題中的應用

函數的思想是運用運動和變化的觀點、集合與對應的思想去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系式或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，可使問題獲得解決.函數思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點.

函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質解有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題;二是在問題的研究中通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易、化繁為簡的目的.

一、運用函數思想解不等式問題

不等式與函數的單調性、最值關系甚為密切.在不等式的題目中，依據題目的結構形式，如能選其中的一個數或一個式作為主元，變形為函數形式，運用函數的有關知識來解，常常是很方便的.

【例1】 已知 a，b∈R+，a+b=1，求證：ab+1ab≥174.

分析：待證式左邊已是函數f(x)=x+1x的形式，由1=a+b≥2ab可知定義域為0

又f(ab)=ab+1ab在0＜ab≤14內屬于嚴格單調下降，所以當ab=14時，f(ab)有最小值174.

【例2】 設f(x)是定義在（-∞，3］上的減函數， 已知f(a2-sinx) ≤f(a+1+cos2x)對于x∈R恒成立， 求實數a的取值范圍.

分析：本題應在定義域和增減性的條件下， 去掉函數符號f，使a從f中解脫出來.

解析：原式等價于a+1+cos2x ≤a2-sinx ≤3對x∈R恒成立，等價于

對x∈R恒成立.

令 t(x) = 3+ sinx ，

則① 對x∈R恒成立就等價于a2 ≤t(x)的最小值2.③

令S(x) = 1+cos2x + sinx = -( sinx-12)2 + 94 ≤94.

則② 對x∈R恒成立等價于a2-a ≥94.④

由③、④可得所有實數a的取值范圍為［-2，1-102］.

點評：在有關不等式的問題中要區分以下命題：

⑴ a＞f(x) 恒成立等價于a＞f(x)的最大值；

⑵ a＜f(x) 恒成立等價于a＜f(x)的最小值；

⑶ a＞f(x) 有解等價于a＞f(x)的最小值；

⑷ a＜f(x) 有解等價于a＜f(x)的最大值.

二、運用函數思想求解方程問題

【例3】 若關于x 的方程25-|x+1|-4×5-|x+1|-m=0有實根，求m的取值范圍.

分析：視方程中的變量x為自變量，常數m為自變量x的函數，原方程變為函數式，問題轉化為求函數的值域.

解法1：設 t=5-|x+1|，則m=t2-4t，其中t∈(0，1］，∴m=(t-2)2-4∈［-3，0).

解法2：設t=5-|x+1|，則0

設f(t)=t2-4t-m ，其對稱軸 t=2 ，f(0)>0且f(1)≤0 ，得m∈［-3，0).

【例4】 解方程3x+4x=5x.（第七屆全國中學生數學競賽試題）

解：觀察由勾股定理得x=2為其解.∵5x ＞0，∴(35)x+(45)x=1，設 f(x)=(35) x+（45）x，則f(x)在R上是減函數. ∴f(x)=1只有唯一的解. 故原方程的解為x=2.

三、 運用函數思想解化簡求值問題

【例5】 若x，y是實數，且y >x-1+21-x+12，化簡|1-2y|+y2+2y+1+y2+4y+4.

解：考查函數f(x)=x-1+21-x+12

的定義域為{1}，∴y>12.

所以，原式=2y-1+y+1+y+2=4y+2.

【例6】 已知 (x+2y)5+x5+2x+2y=0，求x+y的值.

解：原方程變為

(x+2y)5+(x+2y)=-(x5+x)，①

設 f(t)=t5+t，則f(t)在R上是奇函數且為增函數.

①式變為f(x+2y)= -f(x)，即f(x+2y)=f(-

∴x+2y=-x，∴x+y=0.

四、運用函數思想解應用性試題

【例7】 在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1，a2，…，an 共n個數據.我們規定所測量物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量：與其他近似值比較，a與各數據的差的平方和最小，依次規定，從 a1，a2，…，an推出 a=() .

分析：此題關鍵是最佳近似值a的規定：“a與a1，a2，…，an 的差的平方和最小.”由此得到a的函數f(a)=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2

=na2-2a(a1+a2+…+an)+(a21+a22+…+a2n).

顯然這是一個關于a的二次函數，要求a為何值時，f(a)最小.

由n>0得，當 a=1n(a1+a2+…+an)時，f(a)最小.

【例8】 在xOy平面上給定一曲線 y2-2x = 0.

（1）設點A的坐標為(23， 0)， 求曲線上距點A最近的點P的坐標及相應的距離PA.

（2）設點A的坐標為（a， 0）， a∈R，求曲線上的點到點A距離的最小值d， 并寫出d=f(a)的函數的表達式.

分析：建立目標函數轉化為求函數的最值.

解析：（1）設P（x， y）為曲線上任意一點， 則y2=2x(x≥0)，

則PA2=(x-23)2+ y2=(x+13)2 + 13.

∵ x≥0，∴x = 0時，PA 有最小值23，此時P點的坐標為（0， 0）.

（2）設P（x， y）為曲線上任意一點，則PA2=（x-a）2 + y2 =［x-( a-1)］2 + 2a-1， x≥0，

當a≥1時， 在x=a-1處取得最小值2a-1；當a＜ 1時， 在x = 0 處取得最小值a2.

所以d=2a-1，a≥1；

|a|，a＜1.

點評：目標函數為二次函數時， 由自變量a的取值范圍得出這時二次函數在區間上的最值問題， 所以必須分類討論， 注意求出的值還要符合分類討論的的取值范圍. 對于構造函數的實際問題一定要弄懂題意、理清關系、選準目標，方能正確建模， 解決問題.

從以上數例可知，運用函數的思想來解題有時是很方便的.教師在自己平日的解題教學中，如有機會便與函數聯系，有意識地加強學生的函數意識，這不僅能拓寬學生的解題思路，提高他們解決問題的能力，而且對學生深刻理解函數概念，完善學生的認識結構方面也是大有裨益的.

(責任編輯 金 鈴）