“有理數(shù)”教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透

“有理數(shù)”是滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)教材的第一章，也是同學(xué)們進(jìn)入初中以來最先接觸的數(shù)學(xué)內(nèi)容，它是整個(gè)初中數(shù)學(xué)階段最基礎(chǔ)和最重要的內(nèi)容之一，其中蘊(yùn)含了很多重要的數(shù)學(xué)思想.

所謂數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)中被反復(fù)的運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想.作為一線教師，我們?cè)谑谡n過程中除了要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)外，更要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)概念，把抽象的數(shù)與直觀的圖形結(jié)合起來利用它們之間相互聯(lián)系的思想就是數(shù)形結(jié)合思想.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說得好“數(shù)缺形時(shí)少知觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，分離開來萬(wàn)事休.” 這是他對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的精辟論述.數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，它通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)助形”或“數(shù)形互助”，使得問題化難為易，化繁為簡(jiǎn).本章有理數(shù) (數(shù)) 的相關(guān)概念和運(yùn)算都是利用數(shù)軸(形) 來定義和描述的，同時(shí)數(shù)軸也成為理解和解決有理數(shù)相關(guān)概念及運(yùn)算的重要工具.

【例1】 若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|試用“<”號(hào)連接a，b，-a，-b．

分析：由于a＜0，b＞0，我們可以知道a在原點(diǎn)的左邊，而b在原點(diǎn)的右邊.同時(shí)由于|a|＜|b|，則a到原點(diǎn)的距離小于b到原點(diǎn)的距離，所以它們?cè)跀?shù)軸上的位置可用圖1表示.

同時(shí)根據(jù)相反數(shù)的意義，-a，-b可以在數(shù)軸上表示出來，如圖2所示，又因?yàn)閿?shù)軸上的點(diǎn)，左邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比右邊的點(diǎn)表示的數(shù)小，故可得到 -b＜a＜0＜-a＜b.

二、分類討論思想

分類討論，就是在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，為了準(zhǔn)確地對(duì)問題進(jìn)行求解，需要對(duì)問題的各種情況進(jìn)行分類，并逐類進(jìn)行解決，最后綜合各類結(jié)果，從而得到整個(gè)問題的結(jié)果，這種數(shù)學(xué)思想方法，我們稱之為“分類討論思想”.本章有理數(shù)的運(yùn)算中牽涉到絕對(duì)值時(shí)，分類討論思想的應(yīng)用是正確解決此類問題的關(guān)鍵.

【例2】 若|x|=2，|y|=3，試求x+y的值.

分析：根據(jù)絕對(duì)值的意義知，這里x，y的都有兩個(gè)值，故必須對(duì)他們進(jìn)行分類討論.

解：因?yàn)閨x|=2，|y|=3，所以x=±2，y=±3

（1） 當(dāng)x=2，y=3時(shí)，x+y=2+3=5

（2） 當(dāng)x=-2，y=-3時(shí)，x+y=(-2)+(-3)=-5

（3） 當(dāng)x=2，y=-3時(shí)，x+y=2+(-3)=-1

（4） x=-2，y=3時(shí)，x+y=(-2)+3=1.

三、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想就是在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，人們通常將一個(gè)未知的新問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)我們已經(jīng)熟悉的舊問題，將一個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，將難于理解的抽象問題轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單或直觀的具體問題，將一個(gè)實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化成為一個(gè)數(shù)學(xué)問題.轉(zhuǎn)化思想可以說是數(shù)學(xué)中最基本的一個(gè)數(shù)學(xué)思想，本章中有理數(shù)運(yùn)算的精髓就是轉(zhuǎn)化思想，有理數(shù)的加減運(yùn)算其實(shí)就是轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)有理數(shù)的乘法運(yùn)算也是通過轉(zhuǎn)化思想來實(shí)現(xiàn)的.“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)” 、“除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，這充分體現(xiàn)了有理數(shù)運(yùn)算中的轉(zhuǎn)化思想.

【例3】 計(jì)算(-23)÷(-45)×(+125)÷(-7)

分析：這里既有乘法，又有除法，通常是利用轉(zhuǎn)化思想，將所有的除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后利用乘法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.

解：原式=(-23)×(-54)×(+75)×(-17)

四、化歸思想

化歸思想就是人們?cè)诮獯鹉承?shù)學(xué)問題時(shí)，常常將待解決的陌生問題通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一個(gè)比較熟悉的問題，從而調(diào)動(dòng)和運(yùn)用我們已知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法來對(duì)問題進(jìn)行解決的一種思想方法.通過化歸把較復(fù)雜的問題變換轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問題，把難以入手的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易入手的問題，把未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題.

(責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）