由“d=r”說開去

初中數學 “圓和直線的位置關系”有三種：（1）相離；（2）相切；（3）相交.其判斷方法有兩種：其一，根據圓和直線的交點個數判斷；其二，根據圓心到直線的距離與半徑的大小判斷.在日常教學中，教師常用下圖顯示這三種關系：

由圖易知：（1）當d＞r時直線與圓沒有交點直線與圓相離；

（2）當d=r時直線與圓有一個交點直線與圓相切；

（3）當d＜r時直線與圓有兩個交點直線與圓相交.

這兩種判定直線與圓的位置關系的方法中，第一種是數據法，第二種是圖形法，用數據與圖形這種“數形結合”的方法判斷直線與圓位置關系，從數學概念理解上較好地體現了“數學結合”的數學思想，二者相輔相成.但“數”與“形”的兩種定義之間有聯系嗎？當d=r時，直線與圓確實只有一個交點嗎？如何證明？

課本上對此沒有詳細證明，在常規學習中，這“數”、“形”二定義的淵源也不斷被忽略，二者之間真的沒有溝通點嗎？ 如果只是畫圖證明，不嚴謹；如果單憑感覺，不能說明問題，我們應該怎么證明“當d＝r時，直線與圓相切”這樣一個命題（及其逆命題）呢？為了挖掘概念學習之源，筆者給出以下兩個命題的證明，以幫助同學們深入理解兩種方法的相通之處，并培養嚴謹的數學學習習慣.

命題1 如果圓心O到直線l的距離d=半徑r，那么直線l是圓O的切線.

圖2

已知：如圖2，⊙O中，OP⊥直線l，垂足為點P，且OP=圓半徑r .

求證：直線l是圓O的切線.

證明：∵OP⊥直線l，垂足為點P，

∴線段OP表示點O到直線的距離.

根據點到直線的距離定義“直線外一點與直線上各點相連所得的線段中，垂線段最短”可以得到以下結論：

若在直線l上另取任意一點Q，則QO>OP.

∵OP=圓半徑r，

∴點P是圓上的點.

∵QO>OP（即OQ>r），

∴根據點和圓的位置關系即知，點Q在圓O外.

由Q點的任意性可知，直線l上除P點外的所有點，都在圓O外，此時，只有點P在圓上，即直線與圓只有一個交點P，

∴直線和圓相切.命題得證.

說明：命題1即圓的切線判定定理——經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

命題2 如果直線l是圓O的切線，那么圓心O到直線的距離d=半徑r.

圖3

已知：如圖3，直線l是圓O的切線，且過點O的線段OP⊥直線l， 垂足為點P，

求證：OP=半徑r.

證明：（以下用反證法證明直線與圓只有點P一個交點）

假設直線與圓的交點是點Q，連接OQ，則OQ=r，此時點Q在圓上.

∵直線l與圓O相切，

∴直線l與圓O只有且只有一個交點，即點Q.

∵OP⊥直線l，垂足為P，

∴在直線l上的所有點與點O的連線中，OP最短，

則 OP

∴OP<半徑r.

∴直線l與圓O相交，則直線l與圓O有兩個交點，

與假設矛盾.

因此直線l與⊙O的唯一交點是點P.

∴點P既在圓上，又在直線上.

∴OP=半徑r，命題得證.

說明：命題2即圓的切線的性質定理——圓的切線垂直于經過切點的半徑.

在常規的學習中，很多學生容易忽視“d=r直線與圓相切”的證明問題，不去注意“為什么當d=r時，直線與圓就只一個交點呢？”浮躁的學習不易培養嚴謹、深入的思考習慣，對概念的淺層次理解也容易造成浮淺的基礎.因此，重視基礎概念的學習，重視概念中各因素之間的轉化過程，深入掌握數學思想是我們學習數學、攀登高峰的奠基石，不可視之為當然.

(責任編輯 金 鈴）