讓辯證思想點燃思維的火花

唯物辯證法要求我們用普遍聯系的觀點看問題，要求我們要用運動、變化、發展的觀點觀察和處理問題，要求我們用一分為二的、全面的、矛盾的眼光看問題.由于哲學規律揭示了事物的本質，因而這些基本規律對數學教學的指導還是宏觀的，更具體的工作需要教師創造性地把這些規律和方法運用于數學教學的各個環節，加深學生對數學本質的理解和認識，加快學生對數學的基本思想和方法的掌握.

一、聯系的觀點

1．聯系與轉化

世界上一切事物都與周圍其他事物有著這樣或那樣的聯系；每一事物內部的各個部分、要素之間是相互聯系的；世界是一個普遍聯系的有機整體.這就要求我們用普遍聯系的觀點看問題，反對用孤立的觀點看問題，如等差數列與等比數列的聯系，平面多邊形間與空間幾何體間的聯系，還有不等式、方程與函數的聯系等等.

【例1】 已知四面體的四個面都是邊長分別是5、6、7的全等三角形，求這個四面體的體積.

分析：解決此題的關鍵就是由四面體聯想到長方體，通過長方體模型，結合割補思想即可得到：

VA1BDC1=V長方體-4VA1-ABD=295.

2．部分與整體

整體與部分是一個事物的兩個方面.就數學問題而言，有時整體解決有困難，可以“化整為零”，以便“各個擊破”；有時每個部分問題難以解決，也可以“化零為整”，以便“聚沙成塔”.

【例2】 已知二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點為M(m，0)，g(x)=-ax2+bx+c的圖象與x軸的交點為N(n，0)，設h(x)=-12ax2+bx+c，證明：h(x)的圖象與x軸的交點一定有一個介于點M與N之間.

解：由已知得f(m)=am2+bm+c=0，g(n)=-an2+bn+c=0，則

h(m)h(n)=(-12am2+bm+c)(-12an2+bn+c)

=(am2+bm+c-32am2)(-an2+bn+c+12an2)

＝-32am2#8226;12an2＜0.

反思：這里湊成f(m)和g(n)是解題的關鍵所在，體現整體思想應用的廣泛性，類比到生活中就是“團結就是力量”.

二、發展的觀點

1．運動與靜止

動與靜是相對的，它們處在同一事物中的地位隨著人們著眼點的不同，或人們看問題的視角的不同而不同.數學中許多動態問題也有其不變之所在，許多時候，發現這些“不變”是解題成功的關鍵.

【例3】 不全為零的實數a，b，c成等差數列，則直線ax+by+c=0被橢圓x22+y28=1

截得的線段中點的軌跡方程是 .

解：由題意知b=a+c2，代入直線方程化簡得a(x+12y)+c(12y+1)=0，顯然直線恒過定點(1，-2)，又發現定點(1，-2)在橢圓上，設線段中點P(x，y)，則另一交點為N(2x-1，2y+2)，且在橢圓上，從而得到線段中點的軌跡方程是(2x-1)22+(2y+2)28=1（除去點(1，-2)）.

2．量變與質變

事物的發展總是從量變開始，量變是質變的必要準備，質變是量變達到一定程度的必然結果.質變又為新的量變開辟道路，使事物在新質的基礎上開始新的量變.

【例4】 證明0.9#8226;=1.

這是學生在小學時就知道的結論，但對0.9#8226;=1即使是證明過了，學生對此有些還是不能很好理解，總認為無論多少個9，0.9#8226;總是小于1的.其實這里無論多少個9實際上就是有限個9，而0.9#8226;表示的是無限個9，從有限到無限，事物從數量變化到質的變化，因此，0.9#8226;=1，它是極限的表達式，不是一般意義上的等式.

三、矛盾的觀點

1．一般與特殊

【例5】 設0＜a1＜a2＜…＜an＜π2，其中n≥2，求證：tana1＜sina1+sina2+…+sinancosa1+cosa2+…+cosan＜tanan.

分析：我們可以從n=2時入手找出解法，再推廣到一般情況.

∵0＜a1＜a2＜π2

，∴0＜2sina1＜sina1+sina2＜2sina2，

2cosa1＞cosa1+cosa2＞2cosa2＞0，

從而tana1＜sina1+sina2cosa1+cosa2＜tana2.

受n=2的啟發，得到證明如下：

0＜a1＜a2＜…＜an＜π2，

∴0＜nsina1＜sina1+sina2+…+sinan＜nsinan，①

ncosa1＞cosa1+cosa2+…+cosan＞ncosan＞0.②

(1)÷(2)即得結論.

本例的思考過程是：一般→特殊→一般.“一般→特殊”是因為一般情形不僅復雜，還一時找不到解決方法，這時把一般問題退到特殊問題來處理，再把特殊問題的思想方法遷移到解決一般問題，即“特殊→一般”.這種“以退為進”的思想類似于軍事上的戰略轉移：退一步，進兩步.

2.主與次

主要矛盾和次要矛盾在一定條件下可以相互轉化，主要矛盾抓住了，次要矛盾也就迎刃而解了.庖丁解牛要有“牛眼”，解數學題就要抓住“題眼”.

【例6】 已知sinα=Asin(α+β)，|A|＞1，求證：tan(α+β)=sinβcosβ-A.

分析：條件涉及角α，α+β，而結論涉及角α+β，β，消除角的差異便是“主要矛盾”.因此，要把α用α+β和β表示，或β用α+β和α表示，以消除條件和結論間的差異.

證：sinα=Asin(α+β)，

∴sin(α+β-β)=Asin(α+β)，

即sin(α+β)(cosβ-A)=sinβcos(α+β).

∵|A|＞1，∴cosβ-A≠0，

而cos(α+β)≠0，

∴tan(α+β)=sinβcosβ-A.

3．數與形

數與形是從兩個不同側面反映同一個數學對象，它們的相互轉化可以看成是矛盾相互轉化的一種形式.有時主要從數的角度出發，代數方法就是“主要矛盾”；有時從圖形的角度出發，幾何方法就是“主要矛盾”.

【例7】 已知：x，y，z∈(0，+∞)，求證：x2+xy+y2+y2+yz+z2＞z2+xz+x2.

證法1（代數法）：

∵x，y，z∈(0，+∞)，

∴x2+xy+y2＞x，y2+yz+z2＞z，

∴x2+xy+y2+y2+yz+z2＞z+x=(x+z)2＞z2+xz+x2.

證法2（幾何法）：構造△OAB，△OAC，△OBC.設OA=x，OB=y，OC=z，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.證明略.

4.變量與常量

矛盾的普遍性和特殊性在一定的條件下相互轉化，許多時候變量與常量(參數)僅僅是一種表象，只要弄清楚數學問題的本質， 變量與常量(參數)是可以相互轉化的.

【例8】 設關于x的方程x2+ax+b-2=0(a，b∈R)在(-∞，-2)∪［2，+∞)上有實根，求

a2+b2的取值范圍.

解：本題中x是主變量，要對主變量x的解的情況進行討論，比較復雜.考慮到要求a2+b2的取值范圍，可視a，b為主變量，即在aOb坐標平面內，a2+b2的幾何意義就是直線l:

xa+b+x2-2=0上一點P到原點O的距離的平方.

設d為原點到直線l的距離，則

|PO|2≥d2=(|x2-2|x2+1)2=x2+1+9x2+1-6.

令t=x2+1(t≥5)，由單調性可得：a2+b2∈［45，+∞).

四、辯證的否定規律

辯證的否定，是事物自身的否定，即自己否定自己，自己發展自己.從邏輯上看“否定之否定”就是肯定，數學中的某些結論似乎就是它的直接應用，比如補集的補集就是自身；逆否命題也是如此：“AB”等價于“BA”；反證法的證明步驟：要證明命題A成立，如果不能直接證明它是正確的，從反面考慮，如果A不成立，則由此得到與已知條件或正確的命題相悖的結論，于是“A不成立”是錯誤的，即命題A成立；排列組合中的排除法等等.數學教學中的逆向思維、反證法、“正難則反”等思想和方法都是最常見的運用否定之否定規律具體應用，在落實到具體的解題教學中，“正難則反”則是集中代表.

我們相信，在哲學思想的指導下的數學課不再是題目的堆砌，而是智慧的化身，數學不再枯燥無味，而是很有趣好玩的，學生不僅學到了知識，思想境界更是得到提高，學生會在辯證思想的指導下點燃思維的火花.

(責任編輯 金 鈴）