淺析含有絕對值問題的常見解法

在近幾年各大省市的高考題中，常會遇到含有絕對值這一類型的問題，而絕對值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中相當(dāng)活躍的問題，對中學(xué)生來說確實(shí)是個(gè)難點(diǎn)，這就需要掌握含有絕對值問題的常見解法.因此，掌握去掉絕對值符號的方法和途徑是解題的關(guān)鍵.筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐歸納整理出幾種常見的方法，現(xiàn)介紹如下.

一、 “去”絕對值

含有絕對值的問題與一般問題，主要區(qū)別在于多了個(gè)絕對值符號，所以在求絕對值這類問題時(shí)，要想辦法去掉絕對值，而在去絕對值的解法中，方法很多，其中常用的方法有以下兩種.

1. 利用分類討論的思想方法，將含有絕對值的問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值的常見問題

【例1】 已知函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1.

（1） 試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

（2） 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

分析：（1）因?yàn)閒(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x-1；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=x2+2x-1.

作出函數(shù)圖象（略），由圖象可以得到：

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，0)，(1，+∞);

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，-1)，(0，1).

練習(xí)：函數(shù)f(x)=9-x2|x+4|+|x-3|的圖象關(guān)于 對稱.（選填x軸、y軸、原點(diǎn)對稱）

（這道題先求出函數(shù)的定義域，根據(jù)定義域，去掉絕對值.答案：y軸）

2. 利用平方的方法，將含有絕對值的問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值的常見問題

【例2】 解不等式x2-1＞|x-1|.

分析：因?yàn)椴坏忍柕淖笥覂蛇叾紴榉秦?fù)數(shù)，所以直接平方得x2-1＞(x-1)2且x2-1≥0，解得不等式的解集為｛x|x＞1｝.

這兩種類型的問題，體現(xiàn)了如何去絕對值，在實(shí)際解題中應(yīng)根據(jù)問題給出的實(shí)際條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解.

二、 “添”絕對值

求解有些含有絕對值的問題，還可以逆向思考.如果先“添”上絕對值，再“去”掉絕對值，將會起到事半功倍的效果.

1. 利用x2=|x|2的關(guān)系，“添”絕對值

【例3】 已知直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析：如果直接去掉絕對值，應(yīng)該分當(dāng)x≥0時(shí)，y=x2-x+a;當(dāng)x＜0時(shí)，y=x2+x+a

這兩種類型分別與y=1有兩個(gè)不等實(shí)根，且要確保這四個(gè)實(shí)根互不相等.這樣求解，顯得過程很繁.如果先“添”絕對值得到y(tǒng)=|x|2-|x|+a，要滿足y=1與曲線y=|x|2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn)，這就需要方程|x|2-|x|+(a-1)=0中的|x|有兩個(gè)不等的正實(shí)根，從而x就有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

由題意得|x|2-|x|+(a-1)=0，

即|x1|+|x2|=1＞0，|x1||x2|=a-1＞0，Δ=1-4(a-1)＞0.



解得a的取值范圍為1＜a＜54.

2.利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(-x)=f(x)=f(|x|)，“添”絕對值

【例4】 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，若f(1)＜f(lgx)，求x的取值范圍.

分析： 因?yàn)閒(x)在區(qū)間［0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，且x∈R.

由于lgx不一定大于或等于零，但|lgx|≥0，

所以f(1)＜f(|lgx|) ，即1＜|lgx|，

有lgx＞1或lgx＜-1，

所以x的取值范圍為x＞10或0＜x＜110 .

練習(xí)：已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求滿足f(2x-1)＜f(13)

的x的取值范圍.

（ 答案：(13，23)）

這兩種類型的問題的解法，體現(xiàn)了如何添絕對值，添上絕對值后再根據(jù)函數(shù)和不等式的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合和化歸思想很輕松地解決含有絕對值問題.

總之，在求解含有絕對值的問題時(shí)，是先“去”還是先“添”絕對值，則需要同學(xué)們結(jié)合問題的具體條件，準(zhǔn)確地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，使得問題求解簡捷、方便.

(責(zé)任編輯 金 鈴）