例析初中數(shù)學(xué)數(shù)式規(guī)律題求解策略

近年來，數(shù)式規(guī)律題已經(jīng)成為中考命題中舉足輕重的一類題型，就其形式而言有數(shù)式的、圖形的、數(shù)形結(jié)合的，等等.由于找數(shù)式規(guī)律題需要學(xué)生綜合已知條件，通過觀察、歸納得到答案，因此能夠很好地考查學(xué)生的觀察、分析、猜想、歸納的能力，能有效地增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，通過從不同角度對問題的思考，培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性.那么如何來求解數(shù)式規(guī)律題呢? 下面結(jié)合筆者的教學(xué)實踐，談?wù)劤Ｓ玫某踔袛?shù)學(xué)數(shù)式規(guī)律題的求解策略.

策略一：列表歸納法

找數(shù)式規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律.找出的規(guī)律，通常包含序號.所以，把變量和序號放在一起加比較，也容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.

【例1】 觀察下列各數(shù)：0，3，8，15，24，…試按此規(guī)律寫出第100個數(shù).

分析：解答這一題，可以先找一般規(guī)律，然后使用這個數(shù)式規(guī)律，計算出第100個數(shù).我們把有關(guān)的量放在一起加以比較：

給出的數(shù)（記為N）：0，3，8，15，24，…

序號（記為n）： 1，2，3， 4， 5，…

可以列表為：

n

1

2

3

…

n

N

0

3

8

…

N

N與n的關(guān)系

0=12-1

3=22-1

8=32-1

…

N= n2-1

這樣，通過列表的形式，觀察特點，很容易歸納出：給出的數(shù)都等于它的序號的平方減1.因此，第n個數(shù)是n2-1.驗證：當(dāng)n=4時，N=42-1=15；當(dāng)n=5時，N=52-1=24.因此，探究得出的數(shù)式規(guī)律是正確的，所以第100個數(shù)是1002-1=9999.

策略二：函數(shù)分析法

我們知道，給出的數(shù)與序號存在一定的對應(yīng)關(guān)系，因此，也可以采用函數(shù)分析法來求解.

【例2】 觀察下列各數(shù)：1，5，9，13，17，…試按此規(guī)律寫出第100個數(shù).

分析：

給出的數(shù)（記為N）：1，5，9，13，17，…

序號（記為n）：1，2，3， 4， 5，…

可以看成序號（自變量n）從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)字規(guī)律也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.因此，可描點（1，1），（2，5），（3，9），（4，13），（5，17）.在畫圖時，為方便起見，在直角坐標(biāo)系兩條坐標(biāo)軸上的單位長度可以不同（如圖）.

觀察圖象，容易發(fā)現(xiàn)這些點，可連成一條直線.因此，可以設(shè)相應(yīng)函數(shù)的解析式為N=kn+b，把（1，1），（2，5）代入N=kn+b，得方程組

k+b=1， 2k+b=5.

解之得，k=4，b=-3，所以N=4n-3， 即第n個數(shù)是4n-3.驗證：當(dāng)n=4時，N=4×4-3=13；當(dāng)n=5時，N=4×5-3=17.因此，探究得出的規(guī)律是正確的，所以第100個數(shù)是4×100-3=397.

【例3】 觀察下列各數(shù)：2/3，4/15，6/35，8/63，10/99，…試按此規(guī)律寫出第100個數(shù).

分析：此例是分式形式的數(shù)式規(guī)律題，分子要找規(guī)律，分母也要找規(guī)律，同時還要充分借助分子、分母的關(guān)系.可用列表歸納法或函數(shù)分析法求出可能的規(guī)律.分子：2，4，6，8，10…的數(shù)式規(guī)律是2n；分母：3，15，35，63，99…的數(shù)式規(guī)律是4n2-1.因此，第n個數(shù)是2n / （4n2-1），所以第100個數(shù)是2×100/（4×1002-1）=200/39999.

【例4】 觀察下列各數(shù)：-3，9，-19，33，-51，…試按此規(guī)律寫出第100個數(shù).

分析：此例出現(xiàn)符號問題，可采用（-1）的n次方與（-1）的（n+1）次方來調(diào)解.然后用列表歸納法或函數(shù)分析法求出可能的規(guī)律.可以求出3，9，19，33，51，…的數(shù)式規(guī)律為2 n2+1.因此第n個數(shù)就是（-1）的n次方乘以（2n2+1）的積，所以第100個數(shù)是2×1002+1=20001.

【例5】 用同樣大小的黑色棋子按下圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第100個圖形需要棋子多少枚？

第1個圖 第2個圖 第3個圖

分析：此例是有規(guī)律的圖形規(guī)律題，可以轉(zhuǎn)化為求4，7，10，…的數(shù)式規(guī)律題.通過用列表歸納法或函數(shù)分析法很容易求出數(shù)式規(guī)律為3n+1.所以第100個圖形需要棋子301枚.

小結(jié)：探究數(shù)式規(guī)律題的一般步驟是：(1)觀察（發(fā)現(xiàn)特點）；（2）用列表歸納法或函數(shù)分析法（求出可能的數(shù)式規(guī)律）；（3）驗證(用具體數(shù)值代入數(shù)式規(guī)律驗證)；（4）回答問題（根據(jù)數(shù)式規(guī)律求解）.

(責(zé)任編輯 金 鈴）