構造概率模型解數學題

中學數學分科多，知識容量大，各分科的內在聯系需要我們主動去努力發掘，打破教學造成的思維局限，獲得互相滲透、靈活轉化的效果．概率是中學數學新增內容，利用概率思想，通過構造恰當的概率模型，解決一些其他數學分科的問題，是一種別開生面的解題方法．本文舉例說明這種方法在證明恒等式與不等式方面的應用，旨在為探索解題新思路拋磚引玉．

一、證明恒等式

【例1】 證明：∑nk=0Ckn=2n．

證明：設事件A在一次試驗中發生的概率為12，則n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率為

Pn(k)=Ckn(12)k(1-12)n-k=12nCkn

．故1=∑nk＝0P(k)=12n∑nk=0Ckn，從而可得∑nk=0Ckn=2n．

【例2】 證明：(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2=Cn2n．

證明：設袋中有n個白球和n個黑球．事件A表示從中取n個球至少有一個是白球．

一方面，取到k（1≤k≤n）個球的概率為CknCn-knCn2n=(Ckn)2Cn2n，∴P(A)=(C1n)2Cn2n+(C2n)2Cn2n+…+(Cnn)2Cn2n

．

另一方面，不取白球的概率為CnnC0nCn2n，∴P(A)=1-CnnC0nCn2n．

故(C1n)2C22n+(C2n)2Cn2n+…+(Cnn)2Cn2n＝1-CnnC0nCn2n，即(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2=Cn2n．

用類似方法，有C0nCkm+C1nCk-1m+…+CknC0m=Ckn+m．

二、證明不等式

【例3】 已知k＞a＞b＞c＞0，證明：k2-(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0．

證明：∵k＞a＞b＞c＞0，∴ak，bk，ck∈（0，1），故可設A、B、C為三個獨立事件，且P(A)=ak，P(B)=bk，

P(C)=ck．則1≥P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)=ak+bk+ck-abk2-bck2-cak2+abck3

＞ak+bk+ck-abk2-bck2-cak2

，即k2-(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0．

【例4】 證明：若a，b，c為三角形三邊的長，且a+b+c=1，則a2+b2+c2+4abc＜12．(第23屆全蘇數學奧林匹克試題)

證明：∵a，b，c為三角形三邊的長，∴0＜2a＜a+b+c=1，同理0＜2c＜1，0＜2b＜1．

設A、B、C為三個獨立事件，且P(A)=2a，P(B)=2b，P(C)=2c．

則1≥P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)=2(a+b+c)＋4(ab+bc+ca)-8abc

=2+2(1-a2-b2-c2)-8abc，從而有a2+b2+c2+4abc＜12．

【例5】 已知正數a，b，c，A，B，C滿足a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA＜k2．(第21屆全蘇數學奧林匹克試題)

證明：因為ak，bk，ck∈（0，1），故可設M1，M2，M3為三個獨立事件，且P(M1)=ak，P(M2)=bk，P(M3)=ck．

則1≥P(M1+M2+M3)=P(M1)＋P(M2)+P(M3)-P(M1M2)-P(M2M3)-P(M3M1)+P(M1M2M3)=ak+bk+ck

-abk2-cak2-bck2+abck3

＞ak+bk+ck-abk2-bck2-cak2

=ak(1-bk)＋bk(1-ck)＋ck(1-ak)

=ak#8226;Bk+bk#8226;Ck+ck#8226;Ak，故aB+bC+cA＜k2．

【例6】 設x，y，z∈（0，1），求證：x(1-y)(1-z)+(1-x)y(1-z)+(1-x)(1-y)z＜1．

證明：因為x，y，z∈（0，1），故可設A、B、C為三個獨立事件，且P(A)=x，P(B)=y，P(C)=z．

則1≥P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)=x+y+z-xy-yz-xz+xyz=x(1-y)(1-z)+(1-x)y(1-z)+(1-x)(1-y)z+xy(1-z)+(1-x)yz+zx

≥x(1-y)(1-z)+(1-x)y(1-z)+(1-x)(1-y)z

，從而命題得證．

本題不難推廣為：設，x1，x2，…，xn∈(0，1)，n≥2，n∈N+，則∑ni=1(1-x1)…(1-xi-1)xi(1-xi+1)…(1-xn)＜1．

當n=2時即為第23屆全俄數學奧林匹克試題．

(責任編輯 金 鈴）