巧用最值求參數(shù)

我們經(jīng)常遇到這樣一類(lèi)問(wèn)題：不等式ax2+bx+c >0(a>0)對(duì)任意x∈R恒成立的充要條件是什么？一般這樣考慮：由二次函數(shù)f(x)= ax2+bx+c >0(a>0)圖像知，所求為Δ=b2-4ac<0.實(shí)際上，正因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)=ax2+bx+c >0(a>0)的最小值大于0，才有Δ<0.類(lèi)似這種含參數(shù)不等式在給定區(qū)間上恒成立，確定參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，可通過(guò)討論函數(shù)的最值求解.

我們不難理解以下結(jié)論：若函數(shù)y=f(x)在某給定區(qū)間上有最大值ymax，最小值ymin，那么：

（1）f(x)>a恒成立的充要條件是ymin>a；（2）f(x)

現(xiàn)舉數(shù)例加以說(shuō)明.

【例1】 不等式x2+2x+a>0對(duì)于一切x∈［1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：由x2+2x+a>0得a>-x2-2x，設(shè) f(x)=-x2-2x，

∴a>f(x)max， 當(dāng)x∈［1，+∞）時(shí)，不難求得f(x)max= -3，∴ a>-3為所求.

【例2】 設(shè)x>1，試求使不等式klog2x＜log22x-log2x+2恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解：由原不等式恒成立得k＜log2x+2log2x-1恒成立.因x>1，故log2x>0 ，log2x+2log2x≥22 （當(dāng)且僅當(dāng)log2x=2log2x，即x=22時(shí)取等號(hào)）.故(log2x+2log2x-1)min=22-1，即k <22-1為所求.

【例3】 設(shè)x>0，y>0，不等式x+y≤ax+y恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.

解：顯然a>0.由題意a≥x+yx+y

恒成立，則x+yx+y的最大值小于等于a.而(x+yx+y)2=x+y+2xyx+y=1+2xyx+y≤2（當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)），故x+yx+y的最大值為2，a≥2，即a的最小值為2.

從以上幾例可以看出，解這類(lèi)“恒成立”問(wèn)題的技巧是：首先將參數(shù)分離，然后通過(guò)討論其中不含參數(shù)的一邊的最值，從而求得參數(shù)所滿(mǎn)足的范圍.

但有些不等式含的參數(shù)不便于直接分離出來(lái)，這時(shí)只要所構(gòu)造的函數(shù)在給定區(qū)間上可求最值，同樣可以利用這種思想策略加以探討.

【例4】 已知不等式4x2-4ax+a2+2a-1≥0在區(qū)間［0，1］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)f(x)=4x2-4ax+a2+2a-1=4(x-a2)2+2a-1，則原不等式在［0，1］上恒成立的充要條件是函數(shù)f(x)在［0，1］上的最小值f(x)min≥0.

① 當(dāng)a2<0時(shí)，f(x)在［0，1］上的最小值f(x)min=f(0)=a2+2a-1≥0，解得a≤-2-1；

② 當(dāng)0≤a2≤1時(shí)，f(x)min=f(a2)=2a-1≥0，解得12≤a≤2；

③ 當(dāng)a2＞1時(shí)，f(x)min=f(1)=a2-2a+3≥0，解得a>2.

綜上所述，所求的a的取值范圍為a≤-2-1或a≥12.

合理準(zhǔn)確地分類(lèi)討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是解決這類(lèi)題的重要手段和技巧.

(責(zé)任編輯 金 鈴）