構造法解題初探
2012-04-29 00:00:00譚麗麗
中學教學參考·理科版 2012年3期
問題是數學的心臟.學習數學必須善于解題.解決問題一般是在問題給定的題目里由題設來推出結論.但對于某些問題，如果直接推理有時不能順利進行，因而不得不尋找某個來溝通題設和結論的橋梁，這樣的橋梁往往隱含在題設之中，它需要我們去發現，去構造.這種通過構造題目本身所沒有的解題橋梁——數學模型、實例和輔助元素，從而達到解題的方法，就是構造法.
構造法解題的主要特點是“構造”，而“構造”的實質就是一種轉化，一種將原來的問題轉化或者說化歸為一個新的、較易解決的甚至是已經解決的問題.運用構造法解題時，審題是最關鍵的，我們要仔細讀題，認真觀察，從中發現隱含在題目中的信息，并尋找出和它等價的信息構造所求問題的具體形式，或是和它相關的知識，解出所構造的問題，從而使問題順利解.因此，運用構造法解題，需要掌握牢固的基礎知識，熟練的技能和技巧，另外還要有良好的觀察力和一定深度的思維能力，但關鍵在于能否將問題等價轉化為自己所熟知的問題來加以解決.本文將從類比構造、歸納構造、逆向構造、聯想構造、直覺構造等方面對構造法在解題中的應用問題進行探討.
一、 類比構造
用構造法解題就是要根據題目的背景、結構特點，構造出能夠反映原來問題的題設和結論的關系，但又比原來問題簡易清晰的數學模型.為了找到這樣的數學模型，就要在我們原來已經掌握的知識結構中充分聯想和回憶，需要運用類比的數學思想通過觸類旁通，重新構造出與原問題相似的新的數學模型.
【例1】 求證：|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|.
分析：將|a+b|與|a|+|b|看作一個量作比較，容易發現原不等式兩邊的形式完全相同.由此啟示我們去構造一個更一般的的函數形式：函數f(x)=x1+x，x∈［0，+∞).用研究函數的增減性來代替不等式的證明.
而函數f(x)=x1+x在其定義域內單調遞增，因有|a+b|≤|a|+|b|，所以f(|a+b|)≤f(|a|+|b|).因此，原不等式成立.
運用同樣的方法，還可以推導出相類似的不等式：
|x1+x2+…+xn|1+|x1+x2…+xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn|1+|x1|+|x2|+…+|xn|.
【例2】 已知x，y∈［-π4，π4］，a∈R且x3+sinx-2a=0， ①4y3+siny#8226;cosy+a=0. ②
求 cos(x+2y)的值.
分析： 將②×2，化成(2y)3+sin2y+2a=0，比較①式中x3+sinx與②式中(2y)3+sin2y，這兩個式子的模型完全類似.借此可以構造更一般的函數式，即函數f(t)=t3+sint，t∈［-π2，π2］，易證f(t)在［-π2，π2］上單調遞增.
題中條件變為f(x)-2a=0，f(-2y)-2a=0，
解得f(x)=f(-2y)，
所以x=-2y，
即
cos(x+2y)=1.
這樣，通過類比而構造函數f(t)，利用函數的性質，使問題容易解決.
二、 歸納構造
【例3】
平面內有n個兩兩相交的圓，并且任三個圓不經過同一點，試問這n個圓把平面分成多少個區域？
【例4】 平面上有n條直線，兩兩相交，且沒有三條直線交于一點.試問這n條直線能把平面分成多少個部分？
【例5】 在空間有n個平面，其中任何兩個都不平行，任何三個都不經過同一直線.試問這n個平面將空間劃分成多少部分？
這是一類比較抽象、復雜的題目.由于n是正整數，當n從1開始越來越大時，要求的數據就會越來越復雜，越來越大，而且還會容易出現錯漏的情況.我們知道，題目要求的區域數和部分數和題目里的元素即圓、直線、平面的個數n存在著函數關系，由此可以構造函數f(n)，由于n是正整數，那么可以考慮從特殊到一般的思維方式來歸納構造，即從特殊的f(1)、f(2)、f(3)進而推導到一般的f(n).
現在對例3做構造分析：
當n=1時，顯然有f(1)=2.
當n=2時，第二個圓被分成兩段弧，每段弧將第一個圓分成的每個區域分成兩個區域，即f(2)=2+2.對第n-1個圓再增加一個圓，這第n個圓與原來的n-1個圓中的每一個圓都有兩個交點，一共就有2(n-1)個交點把第n個圓分成2(n-1)段弧，而每段弧將原來的一個區域分為兩個區域，一共增加了2(n-1)個區域，
即f(n)=f(n-1)+2(n-1)，
因此有f(2)=f(1)+2×1；
f(3)=f(2)+2×2；
f(4)=f(3)+2×3；
…；
f(n)=f(n-1)+2(n-1).
以上各式相疊加得
f(n)=f(1)+2［1+2+3+…+(n-1)］＝
2+2×［1+(n-1)］(n-1)2＝
n2-n+2.
三、 逆向構造
逆向構造就是按照逆向思維方式（逆向思維也叫求異思維，它是從事物或觀點的反方向來思考的一種思維方式）.讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面進行推導，對于某些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考或許會使問題簡單化，甚至因此而有所發現，創造解題的奇跡，這就是逆向構造法的魅力.
【例6】 求和：Sn=1#8226;2#8226;3+2#8226;3#8226;4+3#8226;4#8226;5+…+n(n+1)(1+2).
分析：如果按照一貫的求和方法去考慮這個題目是比較困難的，我們不妨逆向思考，構造一個比Sn數列更高階但結構相似的數列：
S′n=1#8226;2#8226;3#8226;4+2#8226;3#8226;4#8226;5+3#8226;4#8226;5#8226;6+…+n(n+1)(n+2)(n+3).
令ak=k(k+1)(k+2)，
bk=k(k+1)(k+2)(k+3)，k=1，2，3，…，n.
找出bk與ak的關系bk+1-bk=4ak+1，
問題就可以解決.
這是一種與由繁到簡的習慣方向完全相反的思考途徑.
四、 聯想構造
聯想思維是發散思維，它是由一事物想及另一事物的思維方式和過程.而通過事物間的形式、結構、范圍、關系等因素進行聯想而引發構造是進行構造的常見思維方式.
【例7】 已知α，β，γ∈(0，π2)，且cos2α+cos2β+cos2γ=2，
求證：cotα+cotβ+cotγ≥32.
分析：由已知條件cos2α+cos2β+cos2γ=2聯想到高中立體幾何中“長方體的一條對角線與各個面所成的角分別是α、β、γ，求證：cotα+cotβ+cotγ≥32”.
構造幾何模型：長方體ABCD-A′B′C′D′（如下圖）.
設長方體一條對角線與各個面所成的角分別是α、β、γ，此時其長、寬、高分別為a、b、c，易知：
cotα=b2+c2a，cotβ=a2+b2c，cotγ=a2+c2b.
由不等式x2+y2≥12(x+y)2(x，y∈R)可證.
【例8】 證明：(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2=(2n)!n!n!.
分析：由(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2的形式聯想到二項式展開式，于是構造函數f(x)=(1+x)n(1+x)n.f(x)展開式中xn項的系數是(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2.又因為f(x)=(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n的展開式中xn項的系數是Cn2n=(2n)!n!n!.原式可證.
五、 直覺構造
【例9】 求sin10°#8226;sin30°#8226;sin50°#8226;sin70°的值.
設A=sin10°#8226;sin30°#8226;sin50°#8226;sin70°，
構造對偶式：
B=cos10°#8226;cos30°#8226;cos50°#8226;cos70°.
由A#8226;B可求出A的值.
對于式子B=cos10°#8226;cos30°#8226;cos50°#8226;cos70°的構造，其思維過程是憑借感性經驗、已有的數學知識和潛在的解題意識匯合作用而產生的想法.它是一種直接的領悟性的思維方式.錢學森教授說過：“直覺是一種人們沒有意識到的對信息的加工活動，是在潛意識中醞釀問題，然后與顯意識突然溝通，于是一下子得到了問題的答案，而對加工的具體過程，我們則沒有意識到.”這種創造性思維構造，我們稱為直覺構造.
通過以上的探討，我們得到以下幾點啟示：
(1)構造思想在解決數學問題中起到簡化、化歸和橋梁作用，要運用這種方法，要求學會運用各種基本方法，針對題目特點進行創造性聯想.
(2)運用構造法解題，可以使數學知識各個分支能夠互相滲透，有利于提高我們分析問題和解決問題的能力.
(3)數學各分支知識為構造提供了廣闊而豐富的背景，因此，只有深刻領會各分支的數學基礎知識，熟悉知識間的相互聯系，才能靈活運用構造法解題.
(4)構造法解題思想在科學思想方面給人啟迪，它可以培養人們目的的明確性、思維的條理性、行為的準確性，構造法解題的思想方法在教學中對學生數學思想的培養起著重要作用.例如利用數形結合來構造圖形的方法解題，就是這一重要思想的體現.解題中不僅培養了學生數形結合的數學思想，促進了學生構造思維能力的發展.同樣，構造法解題還可以培養學生的類比思想、化歸思想等.
(責任編輯 金 鈴）
