幾何畫板運用中的幾個疑難問題的解決

教學軟件《幾何畫板》以其入門容易和操作簡單的優點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能，已成為制作中學數學課件的主要創作平臺之一，在高中數學教學中發揮了重要的作用，深受廣大數學教師的青睞.不過在運用幾何畫板的過程中，我們也會遇到一些棘手的問題，以下就是筆者在使用幾何畫板中遇到的疑難問題及自己思考的解決辦法.

問題1：如何繪出直線與圓錐曲線的交點？

【例1】 在平面直角坐標系中，如圖1，已知橢圓x29+y25=1的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F.設過點T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1＞0，y2＜0.設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）.

難點：如何畫出橢圓x29+y25=1與直線TA、TB的交點M、N.因為幾何畫板只能作出兩直線或直線與圓的交點而不能作出直線與圓錐曲線的交點.

解決方法：(簡述繪圖思路，具體畫板步驟略)

1. 作出橢圓x29+y25=1，繪制點A(-3，0)和點B(3，0)，分別即為左、右頂點.

2. 作射線x=9(y≥0)，在射線上任取一點T(9，m)其中m>0.

3. 作直線TA、TB.分別度量TA、TB的斜率kTA、kTB;

4. 將直線TA的方程y=kTA(x+3)代入橢圓方程消去x(此步驟很關鍵)得

(9k2TA+5)y2-30ky=0.解得y=0或y=30kTA9k2TA+5，30kTA9k2TA+5的值即為點M的縱坐標(第4步是解決難點的關鍵，但在幾何畫板中沒有辦法體現，需要自己思考設計).

5. 利用度量中的計算功能算出30kTA9k2TA+5的值.

6. 繪制直線y=30kTA9k2TA+5，并利用畫板中的構造菜單中交點功能作出它與直線TA的交點即得M點.同法可繪出直線TB與橢圓的交點N.

7. 過點M、N作直線MN，作出它與x軸的交點.

8. 拖動點T.我們就會發現:不論點T如何運動，即不論m取何值(m>0)，直線MN恒過定點(1，0).

小結：利用解析幾何的本質，通過方程思想，動態地運算推導出點M、N的坐標并加以繪制.從而解決了幾何畫板圓錐曲線與直線(無論二者是固定的還是動態的)無法作出交點的問題.

問題2：如何作出曲線的動切線？

【例2】 在函數y=x3-3x的圖象上任取一點P，過點P做曲線的切線，并從切線斜率的變化總結出函數單調性與導數的關系.

難點：如何作出P點處的切線？幾何畫板沒有直接作曲線切線的功能，但我們可以利用解析法解決這一問題.

解決方法：(簡述繪圖思路，具體畫板步驟略)

1． 作出函數y=x3-3x的圖象，在曲線上任取一點P.

2． 度量出點P的橫坐標xp和縱坐標yp.

3． 計算3x2p-3的值，記為k（即函數y=x3-3x在點P處的切線的斜率）.

4． 在直線y-yp=k(x-xp)中.令y=0，則x=-ypk+xp，由此得切線與x軸的交點的坐標.

5． 繪出點Q（-ypk+xp，0），過P、Q做直線PQ.

則不論點P如何運動，直線PQ始終是以點P為切點的曲線的切線.

小結：利用導數的幾何意義求出切線斜率，點斜式寫出直線方程，求出它與x軸的交點Q（Q點坐標隨點P坐標改變而改變，同時直線PQ始終與曲線相切）

以上的案例本質上都是數形結合，用代數的方法解決了幾何畫板軟

件中出現的不能直接解決的問題.類似的例子還有很多，希望本文能起到拋磚引玉的作用.

(責任編輯 金 鈴）