解不等式應注意的幾點
2012-04-29 00:00:00劉玉榮
中學教學參考·理科版 2012年3期
不等式歷來是高考的重點，主要考察不等式基本性質、基本方法以及與其他的知識（函數、數列、解析幾何）的結合.通過復習鞏固不等式的解法，可以進一步提高學生解不等式的能力和綜合應用不等式的知識解決問題的能力，提高學生的運算能力和思維能力，培養學生分析問題和解決問題的能力，強化學生應用轉化的思想和分類討論的數學思想.對于此部分內容，考綱對文理科的要求一致，只是難易程度上有所區別.現就解不等式應注意的幾點歸納如下.
一、注意解不等式的基本途徑是等價變形
【例1】 （2008，湖南）“｜x-1｜<2成立”是x(x-3)<0成立的（ ）.
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要的條件
分析：要分清不等式的解集的包含關系，從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B ，則A、B互為充要條件.
解答：由|x-1|<2得-1
二、注意每個變量的取值范圍，確保變形過程等價
【例2】 （2007，天津）設a、b、c均為正數，且2a=log12a，(12)b=log12b，(12)c=log2c，則（ ）.
A. a 分析：要將等式轉化為不等式來求范圍. 解答：2a＝log12a＞10 三、注意參數的分類討論 【例3】 （2008，天津）已知函數f(x)=x+2(x≤0)；-x+2(x＞0)， 則不等式f(x)≥x2的解集是（ ）. A. ［-1，1］ B.［-2，2］ C.［-2，1］ D.［-1，2］ 分析：求解分段函數所對應的不等式時，必須根據不同的前提條件進行分類討論，分類的方法由對象確定，應該統一標準，做到不重不漏，分層次考慮，不越級討論. 解答：當x≤0時，由x+2≥x2-1≤ x≤0； 當x>0時，由-x+2≥x20 故不等式f(x)≥x2集是-1≤x≤1，即［-1.1］.選A. 四、注意均值不等式使用過程中的條件限制 【例4】 （2007，上海）若x，y∈R+，且x+4y=1，則xy的最大值是 . 分析：利用均值不等式求最值時，要領悟到和為定值的準確含義. 解答:xy=14x#8226;4y≤14(x+4y2)2=116，故答案為116. 五、注意挖掘隱含條件，保證代數推理的邏輯性與嚴密性 【例5】 （2008，廣東）設a∈R，若函數y=eax+3x（x∈R）有大于零的極值點，則（ ）. A.a>-3 B.a<-3 C.a>-13D.a<-13 分析:忽視隱含條件a<0往往導致計算結果錯誤. 解答：f′(x)=3+a#8226;eax，若函數在x∈R上有大于零的極值點，即f′ (x)=3+a#8226;eax=0有正根，當f′ (x)=3+a#8226;eax=0成立，顯然有a<0，此時x=1aln(-3a)，由x >0得到參數a的范圍a<-3.選B. 總之，教師在教授不等式課程中要注意與高考題目相結合，找出學生常出現錯誤的地方，在課堂上要積極倡導學生是學習的主體、教師是主導的理念，引導他們由靜聽轉變為主動探索，聽中有思，思中有悟，在聽講中學會捕捉問題或提出見解，使學生能夠掌握數學知識的本質，準確地理解數學概念，掌握解決數學問題的規律，掌握數學問題涉及的真正結構，使原有的孤立的零碎的知識整體化，促使對知識塊整體的認知，增強系統性和條理性，實現量與質的統一.通過這樣的復習教學能達到比較好的復習效果，在以構建系統知識為趨向的現代課堂教學中，通過在聽講中幫助學生進行學習反思，有利于發揮學生學習的主體作用，有利于合理高效地利用課堂，有利于培養學生的定性分析問題和定量分析問題的能力，有利于發展學生運用所學知識的能力，有利于發展技能、技巧、有益的思考方式和科學的思維習慣，最終使學生形成一種積極、主動、探究的高效學習方式，從而由教師的一種教學方法內化為學生的一種學習方法. (責任編輯 金 鈴）
