由一道題看學生對三視圖理解的誤區
2012-04-29 00:00:00姜玲莉楊建輝
中學教學參考·理科版 2012年3期
三視圖是數學新教材新增內容，是立體圖形的平面化表示.教科書僅僅給出了投影和三視圖的定義，舉的例子也是很簡單的幾何體：長方體、圓柱、圓錐、圓臺以及它們的簡單組合體等.從學生的學習情況看，給定幾何體畫三視圖問題不大，但是給出三視圖要求還原幾何體后進行面積和體積計算時，學生容易出錯.縱觀歷年高考題，對三視圖的考察恰恰側重于后一種情形.下面舉一個很典型的例子，希望對大家有所幫助.
【例】 已知幾何體的三視圖（如圖1），畫出該幾何體的直觀圖，
并求其表面積.
大多數學生的解答為:
圖2
經分析該幾何體為正四棱錐，如圖2，其中側棱長為3，底面正方形
邊長為2.
故S側=4S△OAB=4×12×2×(3)2-1
=42，
S表=42+4.
分析：問題在于學生將側面
三角形誤看成了正視圖和側視圖，這是對投影的定義理解不透造成的.
事實上，分析一下還原之后的正四棱錐，
便得到它正確的三視圖應為：如圖3，
取AB中點M， CD中點N，正視圖為△OMN，
即過該棱錐高的中截面.
同理，側視圖為連接BC、DA中點與
頂點O得到的三角形.
俯視圖:正方形ABCD，包含對角線.
圖3
這樣，正視圖與側視圖中等腰三角形的腰長即為正四棱錐的斜高，
故S側=4×12×2×3=43，
S表=43+4.
教學建議：現行一些教科書未講畫三視圖的一般方法，所列舉的畫、補畫或判斷三視圖的例子，均在分析所給幾何體的特征后，直接給出三視圖.學生出現類似的錯誤也很正常.學生剛剛接觸立體幾何，空間想象能力尚未培養起來，教學時若能適時借助多媒體或實物教具便能達到事半功倍的效果.
【同類練習】
1.如圖4是一個幾何體的三視圖.若它的體積
是33，則a= .
圖4
分析：該空間幾何體為一個倒放著的直三棱柱，直觀圖如圖5所示，a是側視圖的高，
圖5
則V=12×2×a×3=33，
故a=3.
2.設某幾何體的三視圖如圖6所示（尺寸的長度單位為m），則該幾何體的體積為 m3.
分析：不難發現該幾何體即為一個三棱錐，但是學生往往不能正確將題中數據還原到對應的幾何體中.
圖7
由正視圖和俯視圖分析得到，三棱錐側面PAC與底面ABC垂直
，AC=4m ，再結合側視圖可知，底面AC邊上的高為3m，三
棱錐的高為2m.
故該棱錐的體積
V=13S△ABCh
=13×12×4×3×2=4(m3).
(責任編輯 金 鈴）
（上接第26頁）
鑒別兩個角是不是對頂角的關鍵之一是兩個角是
由兩條直線相交而形成的，因為由兩條直線相交保證了所形成的角有公共頂點；關鍵之二
是兩個角的兩邊無公共邊.如圖中∠1和∠2也有公共頂點O，但它們有公共邊OB，所以它們不是對頂角.
鑒別兩個角是不是對頂角的關鍵：①兩個角是由兩條直線相交而形成的；
②兩個角的兩邊無公共邊.
五、比較課件制作常用的三個軟件
幾何畫板、演示文稿PowerPoint、動畫制作Flash，在數學課堂中最適合的還是幾何畫板.動畫制作Flash較難，對我們這些初涉多媒體課堂教學的農村教師而言，有一定的難度.演示文稿PowerPoint雖然比較常用，但對數學課堂來說，制作圖形、算式有些不方便，并且它的編輯和幻燈片演示屬于不同的頁面，在演示狀態下不能對課件內容做修改，這難以滿足數學課堂中經常要將題目變式、圖形變形的要求，所以在演示文稿PowerPoint中要達到這個要求往往要制成好幾張幻燈片.每切換一張幻燈片，必然會造成學生思維的停頓，增加理解題意的難度.而幾何畫板就可以解決這個問題，它就像一個電子黑板，可以隨時在上面添內容、畫圖形，也可以對自己原來編輯好的內容隨時進行修改.通過制作動作按鈕，可以將教學內容按需要隱藏或顯示，一個頁面可以容納很多很多的教學內容.還可以制作一些圖形的動態演示，如軸對稱、中心對稱、探索直線與圓的位置關系.也可以方便快捷地建立直角坐標系，繪制出函數的圖形、相似圖形、全等圖形，方便將圖形變換，利用軟件中精確的計算功能探索圖形的性質等等.比如：在教學人教版九年級下冊第二十七章《相似三角形》的平行線分線段成比例定理及推論時，
圖1 圖2 圖3
需要通過測量圖1中的線段AB、BC、DE、EF的長度，計算ABBC、DEEF，比較ABBC、DEEF的大小關系，
得出平行線分線段成比例定理，再將圖1變式為圖2、圖3， 得出平行線分線段成比例定理的推論.在教學這節內容時如果利用《幾何畫板》測量計算功能，可以做到測量、計算準確無誤，避免目測的誤差影響結論的推導.另外還可以通過拖動DF，即可實現由圖1到圖2、3的變式，方便快捷，直觀形象，這些是其他軟件難以做到的，也是傳統教學中難以達到的效果.
(責任編輯 黃桂堅）
