關于“指數函數、對數函數大小比較問題”的探索

關于大小比較的問題，是高考不可缺少的一個考點，但是考生遇到這道題往往有點不知所措，即使能做出來，也要花上相當多的時間，這不僅會影響這類題目的得分率，還會在很大程度上影響學生的考試狀態.為此在歷年的高考前，我都要進行這類題目的專門訓練，下面是我近些年為高三學生復習“大小比較”專題時總結出的一點經驗，供廣大高考學子學習借鑒.

【問題一】

設a=log54，b=(log53)2，c=log54，比較a、b、c的大小.

解：因為y=logax(a＞0，且a≠1)在a＞1時為增函數，在0＜a＜1時為減函數，所以，0＝log51＜log53＜log54＜log55=1

.又易知log53＞(log53)2，又因為log45＞log44=1，所以顯然有c＞a＞b.

小結：本題顯然由對數性質可得.解題后反思本題還能否用其他方法來解決.

【問題二】

設a=log3π，b=log23，c=log32，比較a、b、c的大小

.

解：因為π＞3，又log3π＞log33=1，即a＞1，



此題關鍵是處理好b、c的大小比較，由于b、c這兩者間沒有相同的底數，但是注意觀察就發現，有b>c，所以有a>b>c.（引導學生看到有log23=12log23＞12log22=12，即b＞12，而對于c=log32=12log32＜12log33=12，即c＜12.由于看出b、c均比a小，且均為正數.故而可以用求商法來判斷b、c的大小，即可得到a、b、c的大小）.

小結：對性質的綜合運用是解決問題的關鍵.

【問題三】

設a=(35)25，b=(25)35，c=(25)25，比較a、b、c的大小.

解：引導學生觀察發現，a、c的指數均是25，而且35＞25＞0，所以顯然有a>c，又看到b、c的底數均是25，且0＜25＜1，所以顯然有b

小結：注意觀察，找出特征，進而利用性質來完成比較.

【問題四】

若x∈(e-1，1)，a=lnx，b=2lnx，c=ln3x比較a，b，c的大小

.

解：因為e是一個大于2的無理數，所以0＜1e＜1.易知，a＜0，b＜0，c＜0，很顯然c＞a＞b.

小結：關鍵是要掌握絕對值小于1的數經過乘方后與它原來的絕對的大小進行比較.

【問題五】

若a=logπ0.8，b=(12)0.2，c=2-0.5，比較a、b、c的大小

.

解：因為a是一個對數函數，且底數π＞1，所以顯然有a＜0，b=(12)0.2=2-0.2＞2-0.5=c＞0，所以顯然有b＞c＞a. 

小結：本題關鍵是考察對數和指數函數的性質，同時在比較大小時，合理的取值也是關鍵.

【問題六】

設a=log32，b=ln2，c=5-12，比較a，b，c的大小

.

解：易知a、b均為正數，且都介于0到1之間，所以可以通過求商來判斷它們的大小.ba=log3e＞1，所以a＜b.

現在關鍵是比較a、c的大小，所以可以考慮用估算法來判斷得到c＜a，所以b＞a＞c.

小結：估算法要求學生記住一些較為常用的數的近似數.有些題在按照常規法解答較慢時，用估算解近似值往往能起到事半功倍的效果.

總之，大小比較是有規律可循的，但是在考場上要能做到快速準確地答題，僅靠基本理論和常規方法是不夠的，還需要在平時積累一定的解題技巧，尤其是要把規律性與特殊性有效結合，才能做到解題快速、靈活而又高效.

(責任編輯 金 鈴）