新課程下圓錐曲線切線的探究

圓錐曲線是解析幾何的精粹，以其對稱美、簡潔美、幾何性質良好而備受人們關注，也是高考的熱點.三類曲線各具魅力，但存在若干共同特征，本文著重探究它們的切線方程.

高中數學必修2 “§7.6圓的方程”一節中，我們證明了結論：

設M(x0，y0)是圓x2+y2=r2上一點，則經過點M的該圓的切線方程為：xx0+yy0=r2.

進一步探究：因為圓可看作是橢圓的特例，那么，圓的這一結論在橢圓中能推廣嗎？對于橢圓的切線，是否有類似于圓的切線的結論呢？

問題：已知M(x0，y0)是橢圓x2a2+y2b2=1上任一點，求經過該點M的橢圓的切線方程.

方法一：傳統的方法，即聯立直線和圓錐曲線方程所組成的方程組來解決

解：設過點M的切線方程為：y-y0=k(x-x0)，聯立

y-y0=k(x-x0)，x2a2+y2b2=1.

令m=1a2，n=1b2，得(m+nk2)x2+2nk(y0-kx0)x+n(y0-kx0)2-1=0.結合mx20+ny20=1，由Δ=0得mxx0+nyy0=1，即經過點M(x0，y0)的切線方程是xx0a2+yy0b2=1.

這種直接法，學生容易掌握，但是有時候這種解法會比較繁瑣，特別是含有參數的時候計算量較大.

方法二：借助導數求斜率

解：因為點M在橢圓上，所以x20a2+y20b2=1，變形得：y0=baa2-x20.①（不妨設點M(x0，y0)是第一象限的點）.

對①兩邊同時求導可得：y′0=ba×12×-2x0a2-x20=-bx0aa2-x20.②

由直線方程的點斜式可知：經過點M的切線方程為：y-y0=k(x-x0).③

將①②代入③，變形得a2y0y+b2x20=a2y20+b2x0x，

左右兩邊同除以a2b2得，xx0a2+yy0b2=1.

其他象限的結論不變，所以經過點M(x0，y0)的切線方程是xx0a2+yy0b2=1.

方法三：用極限的思想求切線斜率

從極限思想出發，設M′(x0+Δx，y0+Δy)是橢圓上靠近M的一點.

聯立x20a2+y20b2=1，(x0+Δx)2a2+(y0+Δy)2b2=1，

兩式相減得k=limΔx→0ΔyΔx=-bx0ay0.所以經過點M(x0，y0)的切線方程是xx0a2+yy0b2=1.

橢圓與圓的切線形式得到了完美的統一！

小結：若橢圓的焦點在x軸上，則切線方程為xx0a2+yy0b2=1；若橢圓的焦點在y軸上，則切線方程為yy0a2+xx0b2=1.

受其啟發，用同樣的方法也可以推廣到雙曲線的情形：

（1）若雙曲線的方程是x2a2-y2b2=1，則切線的方程為xx0a2-yy0b2=1；

（2）若雙曲線的方程是y2a2-x2b2=1，則切線的方程為yy0a2-xx0b2=1.

橢圓和雙曲線的切線方程形式都有很好的統一性！

對于拋物線，結合它圖象自身的特點，我們也不難得到拋物線的切線方程形式.

下面就以拋物線x2=2py為例，求經過拋物線上一點M(x0，y0)的切線方程.

解：將x2=2py變形得y=12px2，兩邊同時取導數有y′=12p×2x=xp，那么M處切線的斜率就是x0p.

故切線方程是y-y0=x0p(x-x0)，整理得：yp-y0p=x0x-x20，將x20=2py0代入

得xx0=py+py0.

所以經過拋物線x2=2py上任意一點M(x0，y0)的切線方程是xx0=py+py0.

小結：（1）經過拋物線x2=2py上任意一點M(x0，y0)的切線方程是xx0=py+py0；

（2）經過拋物線y2=2px上任意一點M(x0，y0)的切線方程是yy0=px+px0.

通過求導，我們很容易地得到圓錐曲線的切線方程；通過觀察類比，我們發現三類曲線有著如此完美的統一，不得不令人驚嘆它們的和諧之美.課堂學習探索化、開放化，才能在真正意義上激活學生思維，實現教與學的和諧統一.

(責任編輯 金 鈴）