對一道中考題解答過程的分析及反思

中考，不僅是對學生學習成績的檢驗，也是對教師教學工作的評估．學生在考試卷中解答的情形，能反映出教學中的成績和存在問題．筆者有幸參加了2011年紹興市數學卷的閱卷工作．對試卷中的第23題感觸頗深，現將自己對該題的分析、反思、探索摘文如下，供同行參考．

題目：（浙江省2011年初中畢業生學業考試紹興市數學試卷第23題）

（2011年紹興市中考試題23題）數學課上，李老師出示了如下框中的題目．

圖1

在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC，如圖1.試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由.



圖2

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結論

當點E為AB的中點時，如圖2，

確定線段AE與DB的大小關系．

請你直接寫出結論：

AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．

（2）特例啟發，解答題目

解：題目中，AE與DB的大小關系是：

AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：

圖3

明證明點，即如圖3，過點E作EF∥BC，交AC于點F，

（請你完成以下解答過程）

（3）拓展結論，設計新題

在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC

的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你直接寫出結果）．

一、試題的特點

本題以等邊三角形一個常用的基本圖形為背景，融平行線的性質、等腰三角形、等腰梯形等知識為一體的綜合題，本題難度適宜，主要有以下幾個特點：①第1小題以特殊情況，探索結論，突出考查學生的基本知識，基本技能；②第2小題在第一題的基礎上，特例啟發，解答題目，先是猜測大小關系，后是寫具體解答過程，符合了學生的認知過程，由于已經作好輔助線，解答過程的難度系數下降，使學生沿著知識臺階步步深入，逐步形成推理的思路，探究數學的內在規律性，既注重對數學核心內容的考查，也加強了數學知識的有效整合．③第3小題在①②兩題的基礎上，拓展結論，設計新題，考查不同學生的數學學習水平，綜合考查學生的各種自學能力，區分不同的數學學習水平，為高一級學校的選拔創造一定的條件，有一定的層次變化，綜合程度高，有較高的區分度，現將第2小題中的解答過程的典型解法總結如下：

二、考生中典型解法

1.利用（ASA）證明三角形全等

圖1

方法一：如圖，在等邊三角形ABC中，（過程略）.

圖2

2.利用（AAS）證明三角形全等

方法二：在等邊三角形ABC中，（過程略）.

圖3

3.利用SAS證明三角形全等如圖，

方法三：如圖，在等邊三角形ABC中，

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°（過程略）.

圖4

（4）利用平行四邊形證明

方法四：連接BF

如圖，在等邊三角形ABC中，（過程略）.

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°

圖5

（5）過E作AC的平行線構造另外三角形證明全等

方法五：過E作EG∥AC交CD于G點（過程略）.

三、典型錯誤歸類

1.由于涉及角線段較多，數量關系較復雜，無法找到等量關系，故無從下手或亂寫一番．

2.全等三角形找錯．△BDE與△ACE全等．

3.證明三角形全等條件運算錯，如解題（3）中，BE=CF，DE=CE，∠EDB=∠CEF，就說明△EFC≌△DBE，利用SSA說明三角形全等．

4.對平行四邊形的判定定理模糊不清，如解答（4）中，利用EF∥DC，ED=BF，一組對邊平行，另一組對邊相等，就說明EFBD為平行四邊形．

5.最后線段相等沒有轉換，能得到BD=EF，而題目要說明BD=AE，需要EF=AE轉換．

四、錯誤的分析

1．從學生角度分析

錯因（1）閱讀能力差，不善于把文字語言轉化為數學語言，當數量關系比較復雜時，往往顧此失彼，不會支解成幾個小問題，再各個擊破，然后，找出各個小問題間量與量之間的關系，從而獲得問題的解決．

錯因（2）一些學生常常輕視基本知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，對一些定理理解不夠透徹，有些同學經常知道大概滿足什么條件就算了，如用SSA證明三角形全等，用一組對邊平行，另一組對邊相等來說明平行四邊形，沒有把定理的內涵真正弄明白，導致解題不正確．

錯因（3）化歸意識淡薄，類比能力差，關于求證線段相等的題目在平時練習、作業、歷年試題中考中并不少見，大部分考生在解決此題碰到麻煩時，根本又不會聯想到以前與此類似的題目，化歸自己熟悉的問題，通過類比的方法解決．

錯因（4）一些學生在平時解題時沒有養成言必有據習慣，缺乏精細的分析能力和態度，碰到問題，往往只憑感覺，憑經驗，如在最后一步直接得出BD=AE，沒有中間轉換．

2．從教師的角度分析

近年來各地的中考題，形式不斷翻新，解題方法靈活，要求學生必須具有扎實的基礎知識，更強的運用所學知識分析、判斷、解決問題的能力．而許多教師的教學能力卻跟不上課程改革的步伐，主要表現在以下三個方面：

(1)過多的機械式訓練，使學生的思維僵化．部分教師為追求課堂效率，常就題論題，強化解決問題的常規思維，反復操練，使學生形成了不良的思維定勢;部分教師仍然是重結論，輕過程，讓學生強記一些定理、公式，以致解題時靈活不足，死板有余．如證明三角形全等運用SSA方法．

(2)不重視學生運算能力的培養．現在很多學生的運算能力差，一些最基本的整數運算也會出錯．教師往往簡單地歸結為學生“不認真”、“馬虎”、“粗心”等，而不能詳細了解、分析學生產生這些錯誤的思維過程，光靠日復一日、年復一年的技能訓練，學生的運算能力是難以得到提高的;還有一些教師對運算能力的認識不足，認為其僅僅等同于運算技能，而將注意力集中在對運算法則的記憶、運算過程的技巧訓練上，只追求學生算得快而缺少對運算意義的了解，以及對算理算法的理解和掌握．

(3)不注重概念的形成過程和比較，新課程標準強調要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶的學習方式．在教學中，一些教師只關注解題的方法與技巧，對概念的理解重視不夠，導致學生對概念的掌握不扎實，出現錯誤．

五、教學反思

（1）在平時教學過程中，要教會學生正確的解題步驟，一般來說，解題按以下四個步驟進行：①審題，認真讀題，初步了解題意；仔細推敲字、詞、句，準確理解題意．②緊扣關鍵字、詞、句，找到入口，形成解題思路．③求證過程，要做到表述嚴謹、規范，條理清晰，書寫整潔，步步有據．④反思，反思解法中有無錯漏，有什么經驗教訓值得總結，有無簡便的方法．

（2）在平時教學過程中要加強“雙基”， “雙基”教學的成敗得失，關鍵在于課堂，課堂是“主陣地”，概念要“堂堂清”，技能要“常常練”，注意不留死角，不掉鏈子．課堂上要避免一講到底，或者只練不講，教師在課堂上要注意“講練結合”，針對不同的教學內容，把握好“講練結合”的度，力求講得清清楚楚，練得扎扎實實．

（3）要系統地組織教學，在教學過程中，教師首先要示范到位，明理法則，明確要求; 重視對典型幾何題的拓展、挖掘與歸納，選取典型題進行變式練習，加強數學建模能力的培養，以取得事半功倍的效果．對學生練習，要精選題日，有針對性地練，反對“盲目練”，反對“題海戰”;要及時反饋，及時指導，發現問題及時采取措施，把問題消滅在萌芽狀態，

（4）在平時教學實踐中，注重錯題．教師應對錯題進行提前干預和現場跟進．教師設計辨錯題，學生校驗，探討研究，分析錯因，生生合作，總結反思，讓學生感受、理解知識的產生、發展過程，提高精細的分析問題的能力，在平時解題時養成言必有據的習慣．

(責任編輯 黃桂堅）