高中習題解題教學的反思
2012-04-29 00:00:00金駿
中學教學參考·理科版 2012年3期
學生解題的能力，在一定程度上反映了學生的綜合學習能力和思考能力.從這個角度上看，高中數學教師要想提高學生的學習成績，要想提升學生的綜合學習能力，那就需要在日常的習題講解中，給學生提供具有實效性和策略性的思路，讓學生能夠在習題的解答過程中，收獲更多的知識，最終提高自身的解題能力.
一、引申問題
關于“題海戰術”的爭議，由來已久.我們在此且不談這種方式的好壞，單看其核心要義：以戰養戰，通過讓學生接觸大量的習題，拓展視野，一方面提高學生解題的熟練度，另一方面提高學生解題的思維廣度，能夠處變不驚.從其核心要義來看，“題海戰術”在戰略上是得當的，但是落實到戰術上，卻存在一些弊端.如會增加學生的學習壓力，引起學生的厭學和抵觸心理.但是，要提高學生的解題效率和能力，又不可避免地需要學生做一些練習，那教師應該怎么平衡數量和質量之間的關系呢？光憑減輕學生的習題量？顯然不夠.
筆者認為，在必須保證一定量的練習，讓學生接觸各種類型的數學問題，但是又需要保證學生的學習效率，減輕學生學習負擔的背景下，“引申問題”，“以一變十”就顯得十分重要了.讓學生在一道數學的問題上，看到更多的題型，一來能夠減輕學生解題的壓力，二來也能讓學生學會觸類旁通，自己探索不同類型題目間的關聯，并在解題上形成一套可變的策略，應對各種問題.
【例1】 已知x>0，求y=x+1x的最小值.
引申1：x∈R，函數y=x+1x有最小值嗎？請說明理由.
引申2：已知x>0，求y=x+2x的最小值.
引申3：函數y=x2+3x的最小值為2嗎？
由該例題及三個引申的解答，使學生加深了對定理成立的三個條件“一正、二定、三相等”的理解與掌握，為定理的正確使用打下了較堅實的基礎.
【例2】 求函數f(x)=sin2x3+cos（2x3-
π6）的振幅、周期、單調區間及最大值與最小值.
這是一道典型的函數習題，一般可以用和差化積公式解決.
但如果教師在此基礎上，進行更多的引申，就能夠讓學生接觸到不同的提問方式，拓展學生的視野.如可以引申如下：
引申1：求函數f(x)=sin2x3+cos（2x3-π6)的對稱軸方程、對稱中心及相鄰兩條對稱軸之間的距離.
引申2：函數f(x)=sin2x3+cos(2x3-π6)的圖象與y=cosx的圖象之間有什么關系?
通過這樣的引申，學生就對三角函數的圖象及性質、圖象的變換規律及和積互化公式有了更為全面的把握，在日后處理相應的問題時，就易如反掌了.
二、引申解題思路
對高中學生而言，通過“一題多變”，可以建立自己的“題庫”，能夠在以后的學習中，處變不驚.但是，這遠遠不夠，畢竟，“認題”之后，還得“解題”.因此，能夠在學習中建立自己的解題策略系統，才能真正處理好各類數學問題.這也就是筆者在多年的教學中，一直在強調的“一題多解”教學策略.筆者始終認為，學生如果能夠用一把鑰匙，解萬把鎖，那就掌握了高中數學解題的“萬能鑰匙”.所以，筆者在教學中始終把引申問題和引申解題這兩個策略結合起來，既讓學生建立題庫，也讓學生建立解題策略體系，以應對各種類型的數學問題.而這就需要對解題本身進行如下思考：
1.反思解題本身是否正確
其實，許多學生在解題的過程中，都可能會出現各種錯誤，所以，完成解題后有必要對解題的過程進行反思和驗證，以便能夠排除忽視了隱含條件，特殊代替一般，忽視特例，運算有誤等問題.
【例3】 已知：a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2十d2=1，求證：｜ac+bd｜≤1.
證法一：(比較法)
∵｜ac+bd｜≤1，
∴-1≤ac+bd≤1，即ac+bd≥-1且ac+bd≤1，接著利用作差法證明上述兩式.
通過反思，學生可得到兩個啟示：①含絕對值不等式的證明題，用去絕對值的方法證明；②絕對值不等式是雙向的，單向成立是不能推出絕對值成立的.
2.反思有無其他解題方法
證法二：(分析法)
要證｜ac+bd｜≤1，即證(ac+bd)2≤1，即證a2c2+2abcd+b2d2≤1.
而a2+b2=1，c2+d2=1，
∴a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)(c2+d2).
∴(ad-bc)2≥0.
∵a、b、c、d∈R，
∴上式恒成立，即原結論得證.
由此可見，在習題教學中，教師可以讓學生完成解題后，再認真觀察題目的條件和結論，從其他角度出發，考慮其他解題方法.通過仔細分析、觀察，學生會聯想到本題是含有絕對值的不等式證明，就可以通過絕對值不等式的性質和均值不等式來解決該問題.
總之，充分地利用習題，發揮習題的教學功能，讓學生在解題的過程中觸類旁通、舉一反三，是提高習題教學效率的關鍵，也是提高學生解題速度的關鍵.因此，教師可以嘗試從“一題多變”和“一題多解”這兩個角度出發，制定解題教學的策略.
（責任編輯 金 鈴）
