《黃河清“問題導學”教學法》復習課教學課例評析

“黃河清問題導學教學法”復習課教學模式，將教學過程結構分為四個環節：知識回顧—自主構建—應用探索—總結歸納.每個環節都有明確的教學核心要素，為教學的組織實施提供了一條明確清晰的思路和范式，有助于有效提高教學效益，促進學生能力的發展.

以下以黃河清老師“降冪變換與添加輔助角（高三第二輪復習課）”一節課的教學為例，就“四環節”的實施進行簡要的解讀.（注：教學過程有刪減）.

一、知識回顧

問題1：在第一輪復習中，我向同學們提出了復習基礎知識的基本要求，還記得它是什么嗎？

——“不僅求會，更要求聯（系）”.就是說，不僅要理解知識的內涵、外延等本質特征，更要思考數學知識、方法間的相互聯系，特別是它們在不同章節是怎樣應用的，重在抓住“聯系”這個核心要素.

問題2：在第二輪復習中，我們要樹立怎樣的復習觀念呢？

對于基本方法——“不在求全，而應求變”.

因為，我們是不可能把所有數學方法都能做到熟練掌握，但是，我們可以學習“變化”，將我們所熟悉的數學方法的內涵和本質延伸、遷移，將相關問題轉化求解，做到舉一反三.

怎樣變化？本節課通過對兩種基本方法的復習與研究，學習如何將有關問題進行轉化求解.

二、自主構建

基本問題研究：

問題3：請同學們觀察以下問題：

（1）將asinx＋bcosx化為一個角的三角函數形式；

（2）求y＝cosx＋sinx的最大值和最小值；

（3）求y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值和最小值.

你能發現這三個式子間的關系嗎？

分析：這三個問題，分別是課本例題、課本習題、高考題（多次出現），它們是密切相關的.在（1）中令a＝b＝1，得（2）；（2）中用2x代x，按二倍角展開，再添加常數1（1＝sin2x＋cos2x），化簡后即為（3）.

可見，它們雖然形式不同，但從解題的本質上說都是一樣的：可化為一個角的三角函數求解.（1）、（2）形式比較明顯，困難就在于，怎樣把（3）化為（1）、（2）的形式？

解：y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x

=1-cos2x2+sin2x+3#8226;1+cos2x2

=2+sin2x+cos2x

＝2sin(2x+π4)+2.

所以函數y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值為2+2，最小值為2-2.

問題4：三個問題的解決中都用到了哪些重要的數學變換？

（1）降冪變換：sin2x=1-cos2x2，cos2x=1+cos2x2；

（2）添加輔助角：asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)，其中φ由tanφ=ba確定.

這兩種變換是我們解決一類可化為y=Asin(ωx+φ)+B問題的基本方法，也是我們這節課要熟練掌握的方法.

教學思考：我們經常強調要讓學生“回到”課本，怎樣“回”？教師要有具體的方法指導.這就需要教師加強研究，看看高考的要求是如何在課本的基礎上變化、提高的，研究這種“變”的依據是什么，它是如何拓展的，幫助學生深入理解課本知識的基礎性，做到正本清源，抓住根本.

三、應用探索

典例精析（2006年高考題）：

【例1】 已知函數f(x)=2sin2x+23sinxcosx+1.

（1）寫出f(x)的單調遞增區間；

（2）若不等式f(x)－m≥0對一切x∈［0，π2］都成立，求實數m的最大值．

問題5：本題與上述范例有哪些聯系與區別？

共同點：所給式子都有二次項，都有兩項積sinxcosx，都是研究函數的性質（如定義域、值域、單調性、周期性等問題）.

不同點：將問題引申到不等式中，或者說一類不等式問題也可以轉化為研究三角函數的性質問題.

解：（1）∵f(x)=1－cos2x+3sin2x+1=2sin(2x-π6)+2，

令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈

Z)，

∴f(x)的單調遞增區間是［kπ-π6，kπ+π3］(k∈Z).

（2）∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤56π，

∴-12≤sin(2x-π6)≤1，

∴1≤f(x)≤4，∴m≤1，即m的最大值為1.

問題6：從這道例題的解答中你能得到什么啟示？

（1）要研究三角函數性質，通過降冪變換、添加輔助角兩種基本方法轉化為y=Asin(ωx+φ)+B，進而求解，這是解決此類類問題的通法；

（2）對一類恒成立問題，可化為求目標函數f(x)的最大（小）值來求解.學會比較，是實施轉化的前提，只有注重求同存異，才能引發聯想，做到舉一反三，觸類旁通.

教學思考：例題的一個重要功能就是它的啟發性.本題通過研究例題與引入問題的三個式子的聯系：形式上、方法上有何區別與聯系，讓學生抽象出本質的東西——數學的思想方法：降冪變換與添加輔助角.而在變化的過程中，相比前面觀察的三個式子在哪些方面有創新？這種總結、思考，正是培養學生思維深刻性的重要手段.

【例2】 設函數f(x)=a#8226;（b+c)，其中a=(sinx，-cosx)，b=(sinx，-3cosx)，c=(-cosx，sinx)，x∈R.

（1）求函數f(x)的最大值與最小正周期；（2）將函數y=f(x)的圖象按向量d平移，使平移后得到的圖象關于坐標原點成中心對稱.求長度最小的d.

分析：本題有兩個突出的特點：一是它沒有直接給出含三角函數的等式，而是以向量為載體，通過轉化才能化為類似例1的形式；二是對于問題（2），無論是用代數方法解還是通過圖象法求解，怎樣選取向量d對一些同學都是認知上的難點，要認真把它弄清.

解：（1）由f(x)=a(b+c)=(sinx，-cosx)(sinx-cosx，sinx-3cosx)

=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2

+cos2x-sin2x=2sin(2x+34π)+2

，

故f(x)的最大值為2+2，最小正周期為π.

（2）方法1：由sin(2x+34π)=0得2x+34π=kπ，即x=kπ2-38π，k∈Z，

于是d=(38π-k2π，-2)，｜d｜＝(kπ8-3π8)2+4(k∈Z).



要使d最小，則只有k=1，此時d=(-π8，-2)為所求.

法2：描點作圖，依題意，按向量d平移，

使平移后得到的圖象關于坐標原點成中心對稱，

這樣的向量d有無數個，而長度最小的d

只有一個，就是向量BO，即d=(-π8，-2).



通過例題的解答我們可以看出，這類問題的共性就是要化為一個角的三角函數求解，而“萬變不離其宗”，前提就是要掌握“降冪變換、添加輔助角”兩種基本方法，在此基礎上，問題可以拓展到與其他知識的聯系和整合上，衍生為綜合性的問題.

教學思考：學習是為了應用.例題中抽象出來的方法能否引申為一般的方法，對相關問題的解決是否有指導意義？這都是教師要引導學生深入思考的.特別地，對于以其他知識為載體的有關問題，能否利用化歸的思想轉化為三角函數問題來處理？怎樣應用？通過教師的引導，讓學生進行探尋、引申，對培養學生解決問題的意識和能力都是非常重要的.

課堂練習：

已知a=(3sinωx，1)，b=(cosωx，0)，ω＞0，又函數f(x)=a#8226;(a-kb)(k＞0)是以π2為最小正周期的周期函數.

（1）求函數f(x)的值域；

（2）若函數f(x)的最大值為52+3，則是否存在正實數t，使得函數f(x)的圖象能由函數g(x)=ta#8226;b的圖象經過平移得到？若能，求出實數t并寫出一個平移向量m；若不能，請說明理由.

四、總結歸納

問題7：本節課我們復習了哪些知識？你有哪些收獲？

（1）要熟練掌握“降冪變換、添加輔助角”兩種基本方法，順利解決可化為一個角的三角函數的有關問題；

（2）注重三角函數與其他知識的交匯點和相互關系，樹立轉化的意識，透過現象看本質，將問題化歸到我們熟悉的問題情境中來求解.

作業：

1.已知函數f(x)=sin2x+3sinxcosx＋2cos2x，x∈R.

（1）求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間；

（2）函數f(x)的圖象可以由函數y＝sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？

2.已知三角形ABC的面積S滿足3≤S≤3，且AB#8226;BC=6，AB與BC

的夾角為θ.

（1）求θ的取值范圍；

（2）求函數f(θ)=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最小值.

“黃河清問題導學教學法”復習課教學特色主要體現在三個方面：

一是特別關注怎樣使復習課既要加強基礎、提高能力、發展智力，又要有針對性，特別是針對學生“惑”的問題.

二是特別注重思考復習課怎樣上出新意，創建激發學生探索欲望的“亮點”.

三是精心思考復習課怎樣去設計高水平的思維訓練活動，保證課堂的思維量.

我們就復習課的幾個環節來分析、感悟黃老師的教學思想.

一、知識回顧

“知識回顧”是一節復習課的基礎，其重點在于兩個方面：一是引導學生系統回顧所學知識；二是有針對性地對疑難問題進行分析、講解，強化學生對所學基礎知識的理解和對基本方法的掌握.

在這一環節中，黃老師的兩個問題可謂“畫龍點睛”：

問題1：在第一輪復習中，我向同學們提出了復習基礎知識的基本要求，還記得它是什么嗎？

問題具體化，引導學生有針對性地去思考、回憶復習基礎知識的重要策略——“注重聯系”，形成有效鋪墊.

問題2：在第二輪復習中，我們要樹立怎樣的復習觀念呢？

激發學生思考，自主尋找第二輪復習的抓手，教師再提煉、總結，提出第二輪復習的策略：對基本方法——“不應求全，而應求變”.這種明確的教學目標要求，能給學生強烈的信號，提升了學生對學習的積極性和關注度，為教師如何對“不應求全，而應求變”進行解讀打下很好的基礎.

二、自主構建

自主構建是一節復習課的重點.復習課對學生掌握基礎知識和基本方法的要求與新授課是有區別的.對基礎知識，復習課重在引導學生建立知識間的聯系，學會綜合運用；對基本方法重在引導學生“學會變化”.通過變化，將方法的內涵和本質延伸、遷移，轉化為相關問題進行求解.因此，這一環節上的主要任務，就是要圍繞“變化”這個關鍵詞來展開.

黃老師是怎樣實現這樣的教學思考呢？

首先，通過“問題3：請同學們觀察以下問題：（1）將asinx＋bcosx化為一個角的三角函數形式；（2）求y＝cosx＋sinx的最大值和最小值；（3）求y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值和最小值.你能發現這三個式子間的關系嗎？”有機地將課本例題、課本習題、高考題聯系起來，讓學生看到高考題并不神秘，而是我們平常學習的引申、拓展.面對“問題”在“變”，我們怎么去應對呢？那就是要緊緊抓住數學的思想方法，用“變化”的觀點，將數學問題轉化到重要的數學思想方法上來.然后，自然地引出“問題4：三個問題的解決中都用到了哪些重要的數學變換？”讓學生通過這種前后知識的聯系，抓住“兩種變換”這個切入點，將本節課主要內容突出地展現在學生面前，將知識、方法串聯起來，促進學生形成完整的認知結構.

三、應用探索

應用探索是一節復習課的關鍵.知識是“死”的，而運用則是“活”的，學習的知識能否真正為已所用，通過解決實際問題就可以很好地檢驗.因此，精選有針對性和典型性的例題、習題，引導學生探索，既強化學生知識的系統性，又注重糾正學生應用知識可能出現的問題和偏差，這是這一環節的重要任務.

本節課，黃老師設置了兩道范例和一道訓練題，我們看看例1中黃老師是怎樣提出問題引導學生思考的.

問題5：本題與上述范例有哪些聯系與區別？

問題6：從這道例題的解答中你能得到什么啟示？

問題的設置注重了以知識技能、知識間的縱橫聯系及思想方法等作為主線，適當地為學生搭建了階梯，讓學生“想探索、能探索”，激活了學生的思維，使學生能夠在教師的引導下自主分析、自主構建，這對提高學生的思維能力是非常重要的.而在問題解決的過程中，黃老師十分注重對學生的獨到見解進行評價，告訴學生其發現的方法特點是什么，有何啟發性，運用到了哪些數學思想，或者為何探索受阻，問題的根源是什么等.通過點評，幫助學生總結規律，促進學生舉一反三，觸類旁通，這對學生形成解題的經驗、提高解題能力有重要的影響.

四、總結歸納

總結歸納是一節復習課的升華.怎樣優化知識結構、掌握解題方法、感悟數學思想、形成知識網絡，需要教師引導學生進行歸納、總結，幫助學生形成知識經驗.

本節課黃老師的總結注重了三個層面的問題解決：

一是通過問題7，引導學生歸納本節課教學的核心內容，并作了補充、完善，它包括：重要知識點的內涵、外延，探索過程所運用到的主要數學思想方法，本節課的“亮點”所在，學生存在的主要問題等.

二是總結歸納知識網絡.黃老師注意將學生的個體歸納與全體歸納相結合，讓學生既有思維的獨立又有相互的借鑒，易于理解、記憶和掌握.

三是注重強化抽象、概括的過程.因為學生的自主歸納往往帶有很強的局限性和不完整性，需要及時引導和糾正，將完整的知識體系和數學思想方法呈現給學生，這對培養學生思維的全面性和深刻性有重要的作用.

綜合來看，黃老師在這節課中的“問題導學”分四個層面：（1）讓學生觀察分析三個式子（來自課本例題、習題、高考題），探索發現它們之間的關系——怎樣相互變化而來？（2）引導學生分析一個典型例題（2006年高考題），研究例題與這三個式子的聯系：形式上、方法上有何區別與聯系，讓學生抽象出本質的東西——數學的思想方法；（3）讓學生反思解這個例題所引發的思考、啟示；（4）引導學生運用總結提煉的思想方法進一步對其他問題進行探尋、引申.這四個問題都是學生學習中的困惑，在“最近發展區”之中，且與課本密切相關.解決問題的過程不偏離基礎知識、基本技能、基本方法，又激活轉化能力，深化思維要求，學生學習情緒十分高漲.這種既突出了以解決學生認知上的難點為主線，又促進學生進行高水平思維訓練的教學風格，正是黃老師“問題導學”教學思想的體現，也是作為一名數學老師應該追求的境界.

(責任編輯 金 鈴）