數學“基本思想”的分類與應用

一、從人們如何認識數學的角度看

1 演繹推理，是從一般到特殊的推理，只要前提為真，符合邏輯規則，那么結論就可靠。它通常包括直接演繹（由一個前提直接推出結論）和間接演繹（由兩個或兩個以上前提推出結論）。

演繹推理具有“三段論”的形式，它是由大前提（一般的判斷）、小前提（特殊的判斷）、結論（最后的判斷）這三個判斷組成的。例如，一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數（大前提）；258各位上的數字和15是3的倍數（小前提）；所以，258是3的倍數（結論）。

2 合情推理，是從特殊到一般的思想，通過研究一些具體、特殊的情況，達到認識一般規律的目的，它是人們認識未知的一種重要思想。歸納推理就是一種從特殊到一般的推理，它是一種合情推理，是在觀察分析問題的幾個簡單、特殊情況，從中總結規律，發現一般問題的解答的思想方法。

例如，六年級下冊第94頁第3題，（1）多邊形內角和與它的邊數有什么關系？（2）一個九邊形的內角和是多少度？通過學生思考三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內角和，由三角形內角和是180°×（3—2），四邊形內角和是180°×（4—2），五邊形內角和是180°×（5—2），從中發現多邊形內角和與它邊數的關系，推出規律：內角和的度數=180°×（邊數—2）。這是一種不完全歸納推理，不完全歸納推理是在研究某個事物或現象的某些特殊情況所得到的共同屬性的基礎上，對這一事物或現象作出一般結論的。不完全歸納推理所得到的結論可能是正確的，也可能是錯誤的。例如，由4是偶數，4也是合數；6是偶數，6也是合數；8是偶數，8也是合數；推得一切偶數都是合數，這個結論就不正確。雖然不完全歸納推理得到的結論可能正確也可能錯誤，但是它能幫助人們迅速地去發現事物的規律，提供研究的線索和方向。

有時在解決問題中，從特殊到一般和從一般到特殊這兩種思想方法需要結合使用。

例如，3⁵⁸⁶除以5的余數是多少？如果你一心一意想把586個3連乘，企圖得到它們的積，再把積除以5求余數，盡管你的整數乘法基本功很好，也是難以求得答案的，因為這是一個天文數字。正確的思考方法是：1.先把問題一般化：問3ⁿ（n表示自然數）除以5的余數是什么？如果能夠解答這個一般問題，那么當n=586時，便是本題的答案。2.使用歸納法，從n=1，2，3，……入手，探求一般問題的結論。當，n=1時，3¹=3，除以5的余數是3；當n=2時，3²=9，除以5的余數是4；當n=3時，3³=27，除以5的余數是2；當n=4時，3⁴=81，除以5的余數是1；當n=5時，3⁵=243，除以5的余數是3；當n=6時，3⁶=729，除以5的余數是4……從上面可以看出，當，n從1開始按順序取值時，3ⁿ除以5的余數依次以3、4、2、1周期反復出現。這就是上述一般問題的解答。3.使用演繹法，從一般規律求當n=586時本題的解答，因為586被4除余2，所以3⁵⁸⁶除以5的余數是4。

3 類比思想，從特殊到特殊的思想。人們研究魚為什么在水中能自由浮沉，設計發明了潛水艇；從雞蛋殼的結構，發明了薄殼建筑等，這些都是人類模仿生物特性創造發明的成果，使用的思想方法就是類比思想。

類比思想是小學數學常用到的思維方法。例如，由整數的運算定律遷移到小數、分數的運算定律，解決問題中數量關系相近的問題的類比等。小學數學中的類比推理除了能有效地促進知識的遷移，還能進一步加強新舊知識間的聯系，引導學生從知識點形成知識鏈，并進一步形成知識面，完成知識的系統化。例如，整數四則運算與小數四則運算的類比，還能幫助學生有效地掌握運算法則。

類比推理并不是論證，由類比推理所引出的結論并不一定是正確的，例如由“a×3=b×3，則a=b”；類比推出“a×0=b×0，則a=b”，后者就不一定正確，但是類比思想在科學假設中常常能起到很大的作用。

二、從數學間的區別和轉化的角度看

1 分類的思想。分類是一種重要的數學思想，分類思想是根據對象本質屬性的共同點和差異點，將屬性對象按一定的秩序區分為不同種類的思想，它以比較為基礎，能夠揭示數學對象之間的聯系與區別，有助于更準確完整地認識事物。學習數學的過程中經常會遇到分類問題，如數的分類（整數、小數、分數：奇數、偶數；質數、合數、1等）、圖形的分類（角的分類、三角形的分類等）。在研究數學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解分類標準是多樣的，不同的分類標準會有不同的分類結果。例如，《三角形的分類》一課。制定教學目標時，一方面要求讓學生牢固掌握三角形角的特征，另一方面還應重點讓學生去感悟抽象或分類的數學思想。教學的具體實施，更要時刻圍繞著這樣的目標去展開。比如，當學生不能正確分類時，可以引導學生去觀察角的特征，使分類得以進行：當學生出現將三角形按角分成直角三角形和沒有直角的三角形（斜三角形）兩類或直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三類時，則可以引導學生去對比其中的聯系，使學生認識鈍角三角形、銳角三角形都是在斜三角形基礎上的細化分類，都完全符合概念分類的原則，都完整地展現了分類的結果。這樣不僅直觀體現了分類的思想，還能夠有效地支撐學生進一步明確概念之間的邏輯關系。

學會分類，可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決數學問題。例如，等腰三角形中有一個角是80°，它的另外兩個角分別是多少度？就要將問題分兩類未思考：①當頂角為80°時，另外兩個角分別為50°，50°。（②當底角為80°時，另外兩個角分別為80°，20°。

2 化歸的思想。在許多情況中，我們遇到的數學問題所蘊含的模式難以檢索到相關的數學知識，就常常需要將原有的數學問題進行一定的轉化，這在數學上稱為化歸，化歸也是普遍使用的一種數學思想。其基本思想就是：把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然后通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解。其基本方法是：在考察待解決的問題時，能意識到與對象有內在聯系的其他諸多對象，將原對象化歸為一個較為熟悉的另一個對象，最終達到對原問題的解答。

化歸思想作為最基本的數學思想之一，在學習數學和解決數學問題的過程中無所不在。例如，六年級上冊的“雞兔同籠”的教學。由于“雞兔同籠”問題解決的特殊性，許多問題都可以化歸為“雞兔同籠”問題。人教版教材“做一做”和練習中安排了類似的一些習題，讓學生拓寬對“雞兔同籠”問題的認識，讓學生進一步體會到這類問題在日常生活中的應用。同時這些問題通過轉化，都可以將其歸結為已經解決的“雞兔同籠”問題類型，從而進一步求解，這就是化歸。

在計算以及解決問題時，有時就需要把條件進行變更、化歸，使原問題變更為一個更容易解決的問題。例如，解決問題，某紡織廠甲、乙兩個車間去年共織布520千米，今年共織布680千米，其中甲車間比去年增產48%，乙車間比去年增產20%。今年甲、乙兩個車間各織布多少千米？這道題中兩個百分率所表示的單位1不同，難以下手進行直接轉化。但我們可以將原問題進行非等價變形，使它變成一個比較簡單的問題，某紡織廠甲、乙兩個車間去年共織布520千米，今年甲、乙兩個車間都比去年增產20%。今年共織布多少千米？先解化歸后的問題，今年共織布520×（1+20%）=624（千米）。現在將結果與原問題進行比較，發現比原問題中少織布680—624=56（千米）。而這56千米的差是由于甲車間增產的48%變為20%所致，所以甲車間今年的織布數為56÷（48%—20%）×（148%）=296（千米），乙車間今年織布數為680—296=384（千米）。非等價變形指化歸前后兩個問題并不等價。但是，當解決了化歸問題之后，就能為解決問題提供解題線索和程序。解題思路是：假設兩個車間多織的百分率相同一找出織布千米數的差與對應百分數的差一求出對應百分數所在單位1的千米數。

盡管化歸方法在具體運用過程中有各種形式，但它的目標都指向一個，即使原問題化歸為一個容易解決的問題，而化歸后的問題解答目標又盡可能接近原問題解答的目標，這就是化歸法的本質所在。

基本思想這一層面是數學思想的最高以及最核心的層面。處于下一層次的還有與具體內容緊密結合的具體思想，如：數形結合思想、符號思想、方程思想、代換思想、對應思想（含量量對應、量率對應、數形對應、函數對應）、結構思想、模型思想、極限思想、統計思想、集合思想和數學美（對稱與和諧、簡單與明快、嚴謹與統一、奇異與突變）的思想等，以及數學思想之下統領的一些具體的方法。

（作者單位：福建省福州市鼓樓區教師進修學校本專輯責任編輯：辛銘 王彬）