利用遞推關系求數列通項的方法

利用題目中的遞推關系求數列的通項，是解決數列這類問題的難點之一，本文就利用數列的遞推關系求數列的通項歸納了幾種高考中常見的題型.

一、形如an+1=an+f（n）的遞推式

利用疊加法.

a2=a1＋f（1），

a3=a2＋f（2），

…

an=an-1＋f（n-1），

以上各式相加得

an=a1＋∑n-1i=1f（i）（n≥2且n∈N*).

【例1】 已知數列｛an｝滿足a1=12，an=an-1＋1n2-1(n≥2)，求數列｛an｝的通項公式.

二、形如an+1=f（n）an的遞推式

因為an+1an＝f(n)，所以

an=anan-1?an-1an-2…a2a1?a1

=a1f（1）f（2）…f（n-1）

(n≥2且n∈N*).

【例2】 數列｛an｝滿足

nan+1=2（a1+a2+…+an），n∈N*且a1=1，求數列｛an｝的通項公式.

三、形如an+1=pan+q(p≠1)的遞推式

方法1：an+1=pan+q，

an=pan-1+q(n≥2)，

∴an+1-an=p（an-an-1），

∴｛an-an-1｝是以（a2-a1）為首項，p為公比的等比數列，

∴an-an-1=（a2-a1）?pn-1，

∴an=a1+（a2-a1）（1-pn-1）1-p

(n≥2且n∈N*).

方法2：令an+1+m=p（an+m），

則an+1=pan+pm-m，與原式比較，

得

m=qp-1，

所以an+1+qp-1=p（an+qp-1），

即｛an+1+qp-1｝為公比是q的等比數列.

【例3】 已知數列｛an｝：3，5，7，9，…，2n+1，…

另作一數列｛bn｝，使b1=a1，且當n≥2時，

bn=abn-1，求數列｛bn｝的通項公式.

四、形如an+1=paqn(p＞0，an＞0)的遞推式

兩邊取對數，得lgan+1=qlgan+lgp，

令bn=lgan，則bn+1=qbn+lgp，仿“類型三”可求解.

【例4】 數列｛an｝中，設an＞0，a1=1，且an?a2n+1=36，求數列｛an｝的通項公式.

五、形如an+1=pan+f(n)(p≠1)的遞推式

變形得an+1pn+1=anpn＋f（n）pn+1，令bn=anpn，得bn+1=bn＋f（n）pn+1，仿“類型一”，用疊加法可求解.

【例5】 數列｛an｝的前n項和為Sn，且滿足a1=1，an+1=2Sn+n2-n+1，求數列｛an｝的通項公式.

六、形如an+1=f（n）an+g（n）的遞推式

設輔助數列｛h（n）｝，使f（n）=h（n）h（n+1），

則an+1=h（n）h（n+1）an+g（n），

即an+1h（n+1）=anh（n）+g（n）h（n+1）.

令bn=anh（n），

則bn+1=bn+g（n）h（n+1），

仿“類型一”可解決.

【例6】 已知數列｛an｝滿足

nan+1=（n+2）an+n，且a1=1，求數列｛an｝的通項公式.

在復習數列內容的過程中，解決了利用數列遞推關系求通項，就解決了數列問題的難點之一.抓住規律，抓住題型的特點，對數列的學習就能起到舉一反三、事半功倍的效果.

(責任編輯 金 鈴）