求遞推數列通項公式的方法初探

數列是中學數學的一項主要內容，求數列的通項特別是遞推數列的通項是其中的一個難點，也是近年來高考中常考的內容.現就從中學階段常見的幾類遞推式入手，淺談求遞推數列通項公式的方法．

一、an+1=pan+q(其中p，q是常數)型

一般可用待定系數法，轉化為等比數列問題．

設遞推式可化為an+1+x=p(an+x)，

即an+1=pan+(p-1)x， 得x=qp-1 .

∴{an+qp-1}是以a1+qp-1為首項，q為公比的等比數列．

∴an+qp-1=(a1+qp-1)qn-1，從而求出an．

二、an+1=pan+qn(p，q為常數)型

此類型的基本方法是先轉化為類型一再由待定系數法求得通項.

原式可轉化為an+1qn+1=pq?anqn+1，令anqn=bn， ①

即bn+1=pqbn+1，則由類型一求出bn，再代入①可求得an．

三、an+1=an+f(n)型

此類型{an}可轉化為an+1-an=f(n)，其中{f(n)}是可求和數列，即逐項作差：a2-a1=f(1)，

a3-a2=f(2)，

…，

an-an-1=f(n-1).

將以上式子累加得：an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1).

設求得f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)，則有an=a1+g(n).

這種求數列通項的方法即為迭加法．

四、an+1=anf(n) 型

此類型{an}可轉化為an+1an=f(n)，其中{f(n)}是可求積數列，即可逐項作商如下：a2a1=f(1)，a3a2=f(2)，a4a3，…，anan-1=f(n-1)，

將以上式子兩邊分別相乘，得ana1=f(1)?f(2)?f(3)…f(n-1).

設求得f(1)?f(2)?f(3)…f(n-1)=g(n)，則有an=a1g(n)，這種求數列通項的方法即為迭乘法．

五、an+1=pan+qan-1(p，q為常數)型

此類型可設an+1+xan=y(an+xan-1)，即an+1=(y-x)an+yxan-1，

∴y-x=p，xy=q

x2+px-q=0.

由一元二次方程可解出x、y的值，構造{an+1+xan}等比數列(公比為 y)，從而可轉化為類型一來求通項．

六、

其他類型

【例1】 若數列{an}滿足a1=12，an=1-1an-1(n≥2，n∈N)，求a2003.

解：n=1，a1=12；

n=2，a2=-1；

n=3，a3=2；

n=4，a4=12；

…

∴{an}是以3為周期的數列，則a2003=a667×3+2=a2=-1.

【例2】 已知數列{an}滿足12a1+122a2+…+12nan=2n+5(n∈N)

，求{an}的通項公式.

解：12 a1+122a2+…+12nan=2n+5，

①

12 a1+122a2+…+12n-1an-1=2(n-1)+5(n≥2).

②

兩式相減得12nan=2(n≥2)，即an=12n+1(n≥2).

∴an=14（n=1）；12n+1（n≥2）.

若數列{an}的遞推公式是an+1=f(an)，則用遞推法求通項的一般方法是：

an=f(an-1)=f(f(an-2))=f(f(f(an-3)))=…

【例3】 設an+1=a2n，a1=2，求an.

解：∵an+1=a2n，

∴an=a2n-1=(a2n-2)2=(an-2)22=(a2n-3)22=(an-3)23=…=a2n-11=22n-1.

遞推數列通項的求法還有很多，比如歸納法、換元祛、特征根法、矩陣法等，無論是高考還是平時訓練中，需要充分利用它們之間的關系，靈活自如地進行轉化，將已知數列變為我們熟悉的、簡單的等差數列或等比數列．

(責任編輯 金 鈴）