二次函數(shù)對(duì)稱性的妙用

二次函數(shù)圖象是一條具有對(duì)稱性的拋物線，如果能合理利用二次函數(shù)的對(duì)稱性去解決相關(guān)問題就能達(dá)到事半功倍的效果.本文就引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用拋物線的對(duì)稱性解決所遇到的問題，談?wù)劷虒W(xué)感想和體會(huì).

一、兩個(gè)常用的結(jié)論

1.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=-b2a.

2.對(duì)于拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），若有y1=y2，則P1、P2兩點(diǎn)是拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，且這時(shí)拋物線的對(duì)稱軸是直線x=x1+x22；反之也成立.

二、在解題中的應(yīng)用

【例1】 已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2，且圖象過點(diǎn)（1，4）和（5，0），求二次函數(shù)的解析式.

分析：此題的解法比較靈活，可以用二次函數(shù)的一般式來解，但運(yùn)算量較大.

我們可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱性來解決此題.本道題目的特點(diǎn)是給了拋物線的對(duì)稱軸方程及一個(gè)x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo).因此可以依據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，求出拋物線所過的x軸上的另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），這樣的話我們就可以選擇用二次函數(shù)的交點(diǎn)式來求解析式.

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)(x-5)，然后將（1，4）代入即可求出a的值.

本題利用二次函數(shù)的對(duì)稱性解題減少了大量的運(yùn)算，既可以準(zhǔn)確解題又節(jié)省了時(shí)間，不失為一種好的方法.

【例2】 （2010甘肅中考題）向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時(shí)間與高度的關(guān)系為y=ax2+bx+c（a≠0）.若此炮彈在第7秒與第14秒時(shí)的高度相等，則在下列時(shí)間中炮彈所在高度最高的是（ ）.

A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒 D.第15秒

分析：此題用常規(guī)辦法將x=7和x=14代入，由于y值相等，得方程49a+7b+c=296a+14b+c，因無法解下去而陷入困境.

本題已知炮彈在第……