平面向量問題的幾何解法和幾何問題的平面向量解法

高考中對平面向量內容的考查，常以選擇題、填空題的形式出現.而解選擇題、填空題的基本要求和策略是：準確、迅速.向量特殊的代數與幾何身份決定了其特殊的功能，我們在備考復習中解決此類問題，經常會訓練學生學會搭建一個橋梁建立起平面向量中代數與幾何的聯系，應用幾何方法解決平面向量問題，使問題簡單化，從而順利、快捷、準確地解決問題.另外，我們也注意到，應用平面向量求解幾何問題，可避開一些繁瑣的運算，同樣能使問題簡單化.下面通過例子加以說明.

一、利用幾何解法解決平面向量問題

圖1

【例1】 已知單位向量a ，b的夾角為π3，則∣a + 2b∣= .

解：由已知條件，根據平面向量的平行四邊形法則，得出圖1.

則求∣a + 2b∣的值實際上是求平行四邊形中線段OC的長.

過C作CD⊥OA，垂足為D，易得AD=1，CD=3，所以OC=7，

即∣a + 2b∣=7.

類似的方法可以解決如下問題：

（1）若向量滿足∣a∣=∣b∣=1，ab = - 12，求∣a + 2b∣的值.

（2）已知平面向量a、b滿足∣a∣=1，∣b∣=1，a與b的夾角為π3，以a、b為鄰邊作平行四邊形，求此平行四邊形的兩條對角線中較長的一條的長度.

圖2

【例2】 若兩個非零向量a、b，滿足∣a + b∣=∣a - b∣=2∣a∣，則向量a + b與a - b的夾角為 .

解：由向量的和與差的平行四邊形法則和三角形法則，

可得∣a + b∣，∣a - b∣恰好是以a、b為鄰邊的平

行四邊形OACB的兩對角線的長度.

∵∣a + b∣=∣a - b∣=2∣a∣，

∴此四邊形OACB為矩形.

∴所以向量a + b與a - b的夾角即為∠ADC，易

知∠ADC=2π3.

圖3

【例3】 設向量a = （cos23° ，cos67°）和b = (cos68°，cos22°)，u =a + tb (t∈R)，則∣u∣的最小值是 .

解：向量a = （cos23° ，cos67°）和b = (cos68°，cos22°) 可以寫成:

a = （cos23° ，sin23°），b = (cos68°，sin68°)，

兩向量a、b分別對應于單位圓上（如圖3）的向量OA 、OB ，顯然∠AOB=45°，

根據∣u∣的幾何意義，求∣u∣的最小值實際上是求以向量a 和向量 tb

為鄰邊的平行四邊形的對角線的最小值.過A作AD∥OB，過O作OD⊥AD

于D，很顯然，以AO、AD為鄰邊所作的平行四邊形OADC中線段OD的

長度即為∣u∣的最小值，易得∣OD∣=22，故∣u∣的最小值為22.

【例4】 已知向量 OB =（2，0），向量OC =(2，2)，向量CA =（2cosθ，2sinθ），則向量 OA 與向量OB 的夾角的取值范圍是（ ）.

A.［0，π4］ B.［π4，5π12］

C.［5π12，π2］ D.［π12，5π12］

圖4

解：如圖4，向量CA的終點A在以點C為圓心，半徑為2的圓上，

OA1 、OA2 是圓的兩條切線，切點分別為A1 、A2 ，在Rt△OCA1中，

∣OC∣=22 ， ∣CA1∣=2，

∴∠COA1=π6，

∠COA2=∠COA1=π6.

∵∠COB=π4，

∴∠A1OB=π4-π6=π12，

∠A2OB=π4+π6=5π12.

∴向量OA 與向量OB 的夾角的取值范圍是［π12，5π12］，故選D.

【例5】 (2011全國卷第12題)設向量a，b，c滿足∣a∣=∣b∣=1，ab =-12，

〈a-c，b-c〉=60°，則∣c∣的最大值等于( ).

A.2 B.3 C.2 D.1

圖5

解:如圖5，設△ABD中， AB =a ， AD =b，∠DAB=120°.

作△ABD的外接圓⊙O，由題意得⊙O的半徑為1.

在圓上任取一點C，設AC=c，則CD =b-c，CB=a-c，

由幾何知識易知，∠BCD=60°，即〈a-c，b-c〉=60°，

由于C點的任意性，很顯然，當AC過圓心，即AC為直徑時，

AC的長為最大，即∣c∣為最大，故∣c∣的最大值為2，選A.

二、利用平面向量解決幾何問題

圖6

【例6】 如圖6，AD，BE，CF是△ABC的三條高，求證：AD，BE，CF相交于一點.

證明：設BE、CF相交于一點H，并設AB =b，AC =c，AH =h，

則BH =h-b，CH =h-c，BC =c-b.

∵BH ⊥ AC，CH ⊥AB ，

∴（h-b）?c=0，（h-c）?b=0.

∴（h-b）?c=（h-c）?b.

∴h?（c-b）=0，即AH?BC=0.

∴ AH⊥BC ，又AH與AD重合，

∴AD、BE、CF相交于一點.

圖7

【例7】 證明：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．

已知：如圖7，直線l垂直于平面α內的兩條相交直線m，n．

求證：l⊥α．

證明：在平面α內作不與m、n重合的任意一條直線g，在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g，

在平面α內，因為m、n相交，所以向量m、n不平行．

由向量基本定理知，存在唯一的有序實數對(x，y)使得g=xm+yn．

因為l?m=0，l?n=0，

所以l?g=xl?m+yl?n=0．

因此l⊥g，由于直線g的任意性，故有l⊥α．

(責任編輯 金 鈴）