源于課本 高于課本

圓的知識是初中幾何的一個重點也是一個難點，而中考題中很多關于圓的綜合性考題都是源于課本，而高于課本的.

【例】 （人教版課本第87頁B組第3題）

如圖1所示，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，AB=AF，BF和AD交于E，

圖1求證：AE=BE.

證明：連結AB、AC，則∠BAC=90°.

∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=∠C.

又∵AB=AF，∴∠ABF=∠C，∴ ∠BAD=∠ABF，

∴AE=BE . ①

由此可進一步探究得出AE=EG. ②

理由：∵∠EAG=90°－∠C，∠EGA=90°－∠ABF，

∴∠EAG=∠EGA，∴AE=EG.

由①②得出AE是Rt△BAG的斜邊BG上的中線.③

對該題進行拓展，可得到下面的兩個題目：

拓展1：如圖2，已知BC為半圓O的直徑，F是半圓上異于B、C的一點，點A是BF的中點，AD⊥BC于點D，BF交AD于點E.

(1) 求證：BE?BF=BD?BC；

(2) 試比較線段BD與AE的大小，并說

明理由.

圖2

證明：連結FC，AB.

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BFC=90°.

又∵AD⊥BC，∴ ∠BDE=90°，∴ ∠BFC=∠BDE= 90°.

又∵∠DBE=∠FBC，∴△BDE∽△BFC.

∴BDBE=BFBC，∴BE?BF=BD?BC.

(2) 在Rt△BDE中，BD

由①得 BE=AE，∴BD

拓展2：如圖3，A為半圓上的一點，BA=AF，過點A作直徑BC的垂線AD，D為垂足，弦BF分別交AD、AC于點E、G.

(1) 求證：AE=BE；

(2)若EG=54，tan∠FAC=34，

求DC的長及AB、AC的長.

圖3

證明：(1)同例題的第(1)問.

(2)由③得AE=BE=EG，

∴ AE=BE=EG =54.

在Rt△BDE中，tan∠DBE=tan∠FAC=34，

∴設ED=3x，則BD=4x.

由BD2+DE2=BE2得(4x)2+(3x)2=(54)2.

解這個方程得x=14.

∴DE＝34，BD＝1，BE＝54，AD＝2.

由射弦定理AD2=BD?DC得

22=1×DC，∴DC＝4，

由此可進一步求出線段AB=AD2+BD2=12+22=5，

AC=AD2+CD2=22+42=25.

由此可見，課本是根本，只有對課本知識融會貫通，才能向縱深處發展.

(責任編輯 金 鈴）