函數思想在數列中的滲透及應用

從函數觀點來看，數列是一類定義在正整數集或它的有限子集上的特殊函數，數列固含著函數的本質及意義，因此在解決數列問題時，可以充分利用函數的有關知識，以函數的概念、圖象、性質為紐帶，架起數列與函數的橋梁，揭示它們之間的內在聯系，從而有效化解數列問題，本文結合幾個實例談談函數思想在數列中的滲透及應用.

一、運用函數的有關概念研究數列

數列的通項公式an以及前n項和Sn均是關于變量n的表達式，因此在解題過程中，尤其是遇到等差、等比這兩類特殊的數列時，可以將它們看成函數，運用函數的性質和特點來解決問題.對于等差數列｛an｝，它的通項公式an=a1+(n-1)?d，可以寫成an=dn+(a1-d)，它是n的一次函數(特殊地，當公差為0時是常數函數)，對應的函數為an=f(n)＝An+B（A，B為常數）；等差數列前n項和Sn=na1+n(n-1)2?d ，可以寫成Sn=d2n2+(a1-d2)n ，Sn是n的二次函數（缺常數項），對應的函數為Sn=f(n)=An2+Bn（A，B為常數）.對于等比數列{an}，它的通項公式an=a1?qn-1，可化為an=(a1q )?qn，對應的函數為an=A?qn（A為常數）， 前n項和公式Sn=a1?(1-qn)1-q(q≠1) ，可化為Sn=a1q-1?qn-a1q-1 ，對應的函數為Sn=K?qn-K(K是常數且q≠0，q≠1)，運用這些特殊函數，可以快速找到解決數列問題的突破口.

【例1】 設等差數列{an}與{bn}，它們的前n項和分別為Sn和Tn，若SnTn=2n3n+1

，求anbn .

思路導引：等差數列前n項和Sn對應的函數為:Sn=An2+Bn （A，B為常數），

由SnTn=2n3n+1

，設Sn=K?2n2，Tn=K?(3n+1)?n ，其中K≠0.

當n=1時，anbn=S1T1 =12 ；

當n≥2時，anbn =Sn-Sn-1Tn-Tn-1 =

K?2n2-K?2(n-1)2K?(3n+1)?n-K?［3(n-1)+1］?(n-1) =2n-13n-1 ；

綜上所述：anbn =2n-13n-1 (n∈N*).

【例2】 在等比數列{an}中，前n項和為Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路導引：由題設知，公比q≠1考慮到等比數列前n項和對應的函數為：Sn=K?qn-K(K是常數且q≠0，q≠1，則有：

K?q2-K=3，K?q4-K=4

K=1，q=2

或K=1，q=-2

所以，Sn=2n-1或Sn=(-2)n-1.

二、以函數圖象為工具，直觀簡化數列問題

函數圖象是函數特征的直觀體現，利用函數圖……