中考測量題型解析

應用數學知識以解決實際問題的題型，一直以來都是中考的熱點之一，

運用解直角三角形來解決的測量問題就是其中的一類.常見的有求物高(寬)及

求解橫截面問題等，其中近年來求物高(寬)中的解答題的問題情境豐富多彩，但總

歸起來所構造的圖形大多以課本的例、習題的圖形作為基本圖形，解題的關鍵是

抓住基本圖形來靈活運用解直角三角形的知識.下面筆者從近年來一些省市數學

中考題中選出部分題目，進行簡單評析.

【題型一】

(課本P88)熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m．這棟高樓有多高(結果精確到0．1m)？

簡析：解決問題的關鍵是會把實際問題轉化為數學問題，將一些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形元素之間的關系，利用解直角三角形的知識來解決它．首先從實際情境中抽象出幾何圖形，如圖1得到兩個直角三角形，這兩個直角三角形相對獨立，分別有各自的直角，可分別在這兩個直角三角形中解決問題.

圖1

解：由圖得∠BAD=30°，∠CAD＝60°，AD=120.

在Rt△ADB中，∵tan∠BAD=BDAD，

∴BD=AD×tan∠BAD

=403.

在Rt△ADC中，

tan∠CAD=CDAD，

∴CD＝AD?tan∠CAD=1203.

∴BC=BD+CD=403+1203≈277.1.

答：這棟樓高約277.1m.

考題1(青島)小明家所在居民樓的對面有一座大廈AB，AB為80米．為測量這座居民樓與大廈之間的距離，小明從自己家窗戶C處測得大廈頂部A的仰角為37°，大廈底部B的俯角為48°.求小明家所在居民樓與大廈的距離 CD的長度．(結果保留整數)

圖2

(參考數據：sin37°=35，tan37°=34，sin48°=710，tan48°=1110）

簡析：這道題目由課本例題通過改變測量對象改編得來的，已知線段和所求的線段剛好互換，在解題時還用到AD+BD=AB這一等式，而CD是兩個三角形的公共邊，把AD和BD轉化為含有CD的式子即可解決問題.

解：設CD=x．

在Rt△ACD中，

sin37°=ADCD，∴AD=34x.

在Rt△BCD中，

tan48°=BDCD，∴BD=1110x.

∵AD+BD=AB，

∴34x+1110x=80，

解得x≈43.

答：小明家所在居民樓與大廈的距離CD大約為 43米．

考題2(衡陽)為申辦2010年冬奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況.在大直街拓寬工程中，要砍掉一棵樹AB，在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與AB等長的圓形危險區.現在某工人站在離B點3米遠的D處，從C點測得樹的頂端A點的仰角為60°，樹的底部B點的俯角為30°．問：距離B點8米遠的保護物是否在危險區內?

簡析：這道題的問題情境呈現方式比較特別，關鍵是轉化為數學問題也就是比較AB與8的大小.若學生對課本例題熟悉的話，還是能很快把圖形轉化為例題的基本圖形，利用矩形的性質得出輔助線的長度，就能用與例題一樣的解法求出AB，再用AB與8比較大小即可知道是否危險了.

圖3

解：過點C作CE垂直AB于點E.

由已知四邊形BDCE是矩形，得

CE＝DB＝3，

在Rt△BEC中，

BE=CE×tan30°=3.

在Rt△AEC中，AE=CE×tan60°=33.

∴AB=AE+BE=43.

∵8＞43，

∴

距離B點8米遠的保護物不在危險區內

【題型二】

(課本P91)海中有一個小島A，它的周圍8海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點B測得小島在北偏東60°的方向上，航行12海里到達點D，這時小島在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁的危險?

簡析：從實際情境中抽象出數學問題，構造出直角三角形后得到兩個有公共直角的三角形，在解題時兩個三角形是相互聯系的，因此解法相對較靈活.

圖4

解法一：過A作AC⊥BD于C點，根據題意得

∠ABC=30°，∠ADC=60°，

∴AD=BD=12.

在Rt△ACD中，

∵sin60°=ACAD，

∴AC=sin60°×AD=63.

∵63＞8，

∴

海輪不改變方向繼續前進無觸礁危險．

解法二：過A作AC⊥BD于C點，根據

題意，

設CD=x海里，則AC=3x海里.

在Rt△ACB中，tan30°=ACBC，即33=3x12+x，∴x=6，∴AC=63.

∵62＞8，∴

海輪不改變方向繼續前進無觸礁危險．

考題3(涼山)如圖5所示，城關幼兒園為加強安全管理，決定將園內的滑滑板的傾斜角由45°降為30°，已知原滑滑板AB的長為4米，點D、B、 C在同一水平地面上.

(1)改善后滑滑板會加長多少米?

(2)若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造是否可行?請說明理由.(以上結果均保留到小數點后兩位).

簡析：此題的測量方式跟習題一樣，但給出線段和所求線段的方式已改變.先從小三角形求出AC，再求AD.第二問還要求出BD的長度后，才能判斷.

圖5

解：(1）在Rt△ACB中，

AC=AB×sin45°=22.

∵∠ABC=45°，

∴AC=BC=22.

在Rt△ACD中，

∵∠D=30°，

∴AD=2AC=42.

AD-AB=42-4≈1.66，

改善后滑滑板會加長1，66米.

(2)這樣改造可行，理由如下：

∵CD=26，BD=CD-BC=26-22≈2.07，

又6-2.07＞3，∴這樣改造可行.

考題4(眉山)如圖6，在一次數學課外實踐活動中，要求測教學樓的高度AB．小剛在D處用高1．5m的測角儀CD，測得教學樓頂端A的仰角為 30°，然后向教學樓前進40m到達E，又測得教學樓頂端A仰角為60°．求這幢教學樓的高度AB．

圖6

簡析：此題還是取兩個點進行測量，但測量工具有所變化，測量時用到有高度的測量儀，因此在測量值中要考慮到測量儀的高度，要用求得的AG的高度加上測量儀的高度才是這幢教學樓的高.

解：∵∠ACG=30°，∠AFG=60°，

∴AF=CF=40.

在Rt△AGF中，

sin60°=AGAF，

AG=sin60°×AF=203，

AB=AG+BG=1.5+203.

答：這幢教學樓的高度AB為(1．5+203)米．

考題5(鄂州)如圖7，一艘艦艇在海面下500米A點處測得俯角為

30°前下方的海底C處有黑匣子信號發出，繼續在同一深度直線航行4000米后

再次在B點處測得俯角為60°前下方的海底C處有黑匣子信號發出，求海底黑

匣子C點距離海面的深度(結果保留根號)．

圖7

簡析：此題的深度所對應的線段在水平線的下方，測量點也在水平線的下

方，有些學生誤認為線段CF的長度就是C點距離海面的深度，事實上，C點距離海面的

深度應該是CF的長度再加上艦艇本身距離海面的深度.

解：作CF⊥AB于點F.

在Rt△AFC中，

∵tan30°=CFAF，

∴AF=3CF.

在Rt△BFC中，

∵tan60°=CFBF，

∴BF=33CF.

∵AF-BF=4000，

∴3CF-33CF=4000.

∴CF=20003，∴

海底黑匣子C點距離海面的深度是(500+20003)米.

課本中的例、習題都是經過專家精選的，

具有一定的示范性、典型性，教師在指導復習時要緊扣課本，找出每個章節中典

型的例、習題，這些題目內涵豐富、解法典型，是培養學生技能和提高學生數學

素質的主要內容.

(責任編輯 金 鈴）