一次函數教學“解密”

人民教育出版社八年級初中數學有一個單獨的章節，專門探討了一次函數的性質及其用法，以及函數與方程組和不等式的關系.一次函數是函數部分的基礎內容，它與反比例函數、二次函數有著密切的關系，學好一次函數也就為學習其他更為復雜函數打下了基礎.學習這部分內容要用到數形結合思想和化歸思想.這部分內容與其他知識鏈接比較多（如方程、不等式），且抽象程度高，學生學習起來有一定的困難.那么，在實際教學中，教師應如何教一次函數呢？

一、了解一次函數及其性質

學習一次函數就要透徹理解函數的定義，了解一次函數的基本性質.讓同學們從理解一次函數的定義、值域、定義域開始，逐步理解一次函數的圖象和增減性等.如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.如果y=kx＋b(k，b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數.當b=0時，y=kx，也就是說正比例函數是一種特殊的一次函數.在學習函數的定義的時候，一定要讓同學們注意，在y=kx＋b函數中，只要自變量x取值確定，就要有唯一確定的y值與之對應.這里的k是不為零的，x的指數為1，b取任意實數.一次函數y=kx+b的圖象是經過（0，b）和（－bk，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b的圖象，可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到（當b>0時，圖象向上平移b個單位；當b<0時，圖象向下平移b個單位）.

常見的函數表示方法有解析式法、列表法和圖象法，最常用的是解析式和圖象結合的方法，這就是典型的數形結合思想.解析式法，簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關系，但有些函數關系，不能用解析式表示；圖象法，形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的變化關系.在實際教學中，要把兩種常用的方法結合起來使用，特別是在講解圖象的性質時，解析式顯示了函數的關系，圖象則可以直觀顯示函數的變化.比如，要確定一次函數y=kx+b經過哪些象限時，根據一次函數的性質，（1）當k>0，b>0時，直線經過第一、二、三象限；（2）當k>0，b<0時，直線經過第一、三、四象限；（3）當k<0，b>0時，直線經過第一、二、四象限；（4）當k<0，b<0時，直線經過第二、三、四象限.又比如一次函數的增減性，當k>0時，y隨x的增大而增大；k<0時，y隨x增大而減小.如果用圖象法就能很清晰、直觀的顯示出圖象的位置.

二、用函數法解決方程與不等式問題

一次函數是初中數學中知識鏈條上重要的一環，它與方程及不等式都有緊密的聯系，在學習一次函數時，一定要和這部分知識聯系起來，綜合考慮，嘗試用函數法解決方程與不等式問題.

1.一次函數與方程

所謂方程本質上可以看作是函數中，己知某一變量的值，而求另一變量的過程.就一次函數來講，常見的有一次函數與一元一次方程的關系和一次函數與二元一次函數的關系.任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：一次函數的某個變量的值為0時，求另一個變量的值.若是從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b，確定它與x軸的交點的橫坐標的值.方程和函數雖看似兩個不同的知識點，但其內在是一致的.

2.一次函數與不等式

任何一個一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0（a、b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大（小）于0時，求自變量的取值范圍.因此，同樣可以把不等式問題轉化為函數問題來解決，這樣再利用圖象進行分析，就可以減少許多不必要的麻煩，給不等式問題的解答帶來更多方便，也給同學們多提供一種解題的思路和方法.

三、教學反思

一次函數知識容量較大，與其他知識聯系密切，內容較難，學生不容易理解和接受.因此，在根據教學目標，設置教學計劃時，要充分結合學生的心理特點，聯系其他知識，綜合設計教學內容.在教學過程中，要充分發揮教師的主導作用，體現學生的主體地位，注意創設問題情景，引導學生觀察、比較、思考，使學生積極主動地參與教學活動，體驗揭示規律，發現真理的樂趣，從而產生巨大的內驅力，進而提高課堂教學效率.教學中，教師應注意向學生說明研究函數的基本方法是由解析式畫圖象，再由圖象得出性質，最后反過來由函數性質研究圖象的其他特征.最好是讓同學們親自動腦、動手畫圖象，根據“兩點確定一條直線”的定理，討論取怎樣的“兩點”比較合適，并歸納總結出畫一次函數的一般方法及規律，這樣可以較好地突破難點.

(責任編輯 易志毅）