改變思維角度 巧解數學問題

伽利略有句名言：“科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的”，說明了思維在學科發展中的重要作用.要實現思維創新，必須突破思維定勢的束縛.而突破思維定勢束縛的最好辦法，就是改變思維角度. 改變思維角度的途徑主要有:改變萬事順著想的思路，把單向變為多向，把直接變為間接，把正向變為逆向，并把握好局部和整體.學生經過一段時間學習之后，掌握了一定的數學知識，形成了一定的思維方法，為解決數學問題打下了基礎，但已形成的思維習慣，有時又限制了學生解題技能的發揮.因此，在教學中注重培養學生的思維方法，使他們不受固定模式的束縛，學會改變思維角度，發現解決問題的新方法尤其重要.

一、發散思維

發散思維，又稱輻射思維、放射思維、擴散思維或求異思維，是指大腦在思維時呈現的一種擴散狀態的思維模式，它表現為思維視野廣闊，思維呈現出多維發散狀.

【例1】 求函數f(x)=x+1x(x＞0)的值域.

方法一：判別式法.

設y=x+1x，則x2-yx+1=0，由Δ=y2-4≥0得y≥2，

當y=2時，x2-2x+1=0，即x=1. 因此當x=1時，

f(x)=x+1x(x＞0)有最小值2，即值域為［2，+∞).

方法二：單調性法.

先判斷函數f(x)=x+1x(x＞0)的單調性.

任取0＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2.

當0＜x1＜x2≤1時，即f(x1)＞f(x2)，此時f(x)在(0，1］上是減函數；

當1＜x1＜x2時，f(x1)＜f(x2)，f(x)在(1，+∞)上是增函數.

由f(x)在(0，1］上是減函數，f(x)在(1，+∞)上是增函數，知

x=1時，f(x)有最小值2，即值域為［2，+∞).

方法三：配方法.

f(x)＝x+1x=(x-1x)2+2，當x-1x=0時，x=1，此時

f(x)有最小值2，即值域為［2，+∞).

上面例子通過從不同方面思考同一問題，從“一題多解”、“一事多寫”、“一物多用”等方式，培養學生的發散思維能力.從問題的要求出發，沿不同的方向去探求多種答案……