提高學(xué)生解題能力的四條途徑

在初一第一學(xué)期的期末復(fù)習(xí)階段，兩份講義中的兩道題，學(xué)生的答題給老師觸動(dòng)很大.先看下面的案例1：如圖1，按下面的程序計(jì)算，如果輸入的數(shù)為40，則輸出的結(jié)果為122.要使輸出結(jié)果為149，則輸入的正數(shù)x的所有值是 .

大部分學(xué)生的解答結(jié)果是49，一問他們都說由3x+2=149，得x=49，個(gè)別學(xué)生還反問筆者：“老師，這個(gè)答案為什么不對？不是完全正確嗎？”我聽了學(xué)生你一言我一語的發(fā)言，覺得不知如何回答才好，為了更好地發(fā)揮題目的思維價(jià)值，我沒有正面直接作出回答，而是問：要使輸出的值是149，輸入的值x除了49外，還有其他的正數(shù)x嗎？這時(shí)學(xué)生們又低頭思考了，有的還動(dòng)筆進(jìn)行計(jì)算.一會(huì)兒學(xué)生們又說：還有當(dāng)x=473，419，2327時(shí)，由循環(huán)輸入知輸出的值都是149，有一位學(xué)生還補(bǔ)充說：“怎么我們解答時(shí)沒有考慮這些值，題目不是明明寫著正數(shù)x的所有值嗎？”我覺得學(xué)生們已經(jīng)有所思考和認(rèn)識，也沒有多說什么，只是說：你們以后做題時(shí)一定要把握好答題的要求，審題一定要仔細(xì)，要全面考慮問題，學(xué)生們都一一點(diǎn)頭表示同意.

案例2：在另一份講義上有這樣一道題目：讓我們輕松一下，做一個(gè)數(shù)字游戲：

第一步：取一個(gè)自然數(shù) n1=5，計(jì)算 n21 +1得a1 ；

第二步：算出a1的各位數(shù)字之和得 n2 ，計(jì)算n22+1 得 a2 ；

第三步：算出a2的各位數(shù)字之和得n3 ，再計(jì)算n23+1得a3 ；……以此類推.則a2011= .

大部分學(xué)生的答案是：n22011+1 .一問學(xué)生，他們都說：a2011= n22011+1 這個(gè)答案是正確的.我迫不急待地說：n1=5 這個(gè)條件你用了嗎？學(xué)生們都說沒有用.你們回去再計(jì)算一下吧！一會(huì)兒，還是有一部分學(xué)生跑來說：老師，答案還是算不出來.我就與他們一起算了起來：當(dāng)n1=5時(shí)，a1=26，這時(shí)n2=8；當(dāng)n2=8時(shí)，a2=65；當(dāng)n3=11，這時(shí)a3=122；當(dāng)n4=5，a4=26. 學(xué)生馬上說n4與n1的值一樣，找到循環(huán)數(shù)字是3.由2011÷3得余數(shù)是1，即 a2010=122，所以 a2011=26.筆者覺得學(xué)生們都懂了，也沒有多作補(bǔ)充.但兩個(gè)案例的錯(cuò)誤使筆者陷入了深深的思考之中，學(xué)生的錯(cuò)誤不是個(gè)別現(xiàn)象，那么作為教師該如何幫助學(xué)生把握答題的要求呢？如何提高學(xué)生的解題能力呢？初一時(shí)基礎(chǔ)的好壞直接影響到初二、初三數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí).所以，經(jīng)過反復(fù)的思考，筆者認(rèn)為在以后的教學(xué)中可從以下的途徑來提高學(xué)生的解題能力.

一、 夯實(shí)基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)知識

中考命題的要求是面向全體學(xué)生，因此中考首先是考查基礎(chǔ)知識和基本技能，著眼于考生的基本素養(yǎng)，因?yàn)椤半p基”是形成解題能力的基礎(chǔ).中考試題中多數(shù)題目源自課本，或是課本的演變題，這些題目均能為考生終身學(xué)習(xí)，終身發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也是新課程對學(xué)生的要求.夯實(shí)基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)知識，絕不僅僅是要求學(xué)生簡單重復(fù)，機(jī)械記憶，重要的是要引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，并進(jìn)一步加以分類、整理、綜合，形成一個(gè)知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，使得在記憶系統(tǒng)中儲存一個(gè)“數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).”這樣學(xué)生在解題時(shí)，由題目提供的信息得到啟示，迅速地提取相關(guān)信息，并從多個(gè)可以聯(lián)系的知識點(diǎn)中，選取與題目的信息能構(gòu)成最佳組合者，促使學(xué)生解題過程最優(yōu)化、考慮問題全面化，做到創(chuàng)造性地解題.如案例1中學(xué)生之所以只考慮到3x+2=149的一種情況，關(guān)鍵是沒有全面考慮問題，認(rèn)為有x求出了就好了，審題不夠嚴(yán)謹(jǐn).審題是解題的基礎(chǔ)一步，因此，要提高學(xué)生的解題能力，夯實(shí)基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)知識，特別是從初一的基礎(chǔ)知識抓起，這是第一步，也是基礎(chǔ)的一步.

二、 歸納常規(guī)題的解題思路

解題思路就是解題的思想方法，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分.教材中沒有專門的章節(jié)介紹它，而是伴隨著基礎(chǔ)知識的教學(xué)而展開的.因此，在日常的教學(xué)中教師要有意識地加強(qiáng)對常規(guī)題的解題思路的歸納，初中階段常用的數(shù)學(xué)思想方法大致可分為兩類：一類是重要的思想方法，如方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、整體思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、樣本估計(jì)整體思想、歸納思想、類比思想、換元思想等；另一類是重要知識的運(yùn)用，如非負(fù)數(shù)、奇偶數(shù)、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理等.對于這些思想方法，教師首先要有所把握，因?yàn)樵谡麄€(gè)初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到這些思想方法的應(yīng)用的常規(guī)題.所以，教師可采用專題的形式結(jié)合一類常規(guī)題對數(shù)學(xué)思想方法加以總結(jié)歸納，讓學(xué)生弄清楚其中的來龍去脈，從而掌握它們各自的適用范圍，幫助學(xué)生弄清楚什么樣的問題用什么樣的方法去解決.如案例1實(shí)際上是方程思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.當(dāng)3x+2=149時(shí)，x=49； 當(dāng)3x+2=49時(shí)，x=473；當(dāng)3x+2= 473時(shí)，x=419；當(dāng)3x+2=419時(shí)，x=2327.所以，當(dāng)x=2327 或419或473或49時(shí)，由題給條件輸出的值都是149.因此，提高學(xué)生的解題能力，歸納常規(guī)題的解題思路是第二步，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的常規(guī)一步.

三、提升典型題的教學(xué)功能

如案例2中學(xué)生之所以會(huì)出現(xiàn)a2011= n22011+1這個(gè)結(jié)果， 是因?yàn)閷W(xué)生受到前三步a1=n21+1，a2=n22+1，a3=n23+1的影響，誤認(rèn)為a2011= n22011+1，這是一類典型的錯(cuò)誤，也是命題者的設(shè)計(jì)意圖.所以，該題是非常典型的一個(gè)例題，挖掘該題的教學(xué)功能十分重要，求代數(shù)式的值，數(shù)字找規(guī)律等知識都包含在其中，這正是該題的教學(xué)價(jià)值所在.因此，提高學(xué)生的解題能力，提升典型題的教學(xué)功能是第三步，也是重要的一步.

四、挖掘綜合題的講評潛力

挖掘綜合題的講評潛力，這就要求我們教師不能就題論題講評題目，而是要做好試題詳細(xì)的分類統(tǒng)計(jì)工作，不是分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)，而是一道題產(chǎn)生的幾種錯(cuò)誤，概念在什么地方學(xué)生理解有欠缺，有時(shí)為了找到學(xué)生出錯(cuò)或不會(huì)解的根源，還可以進(jìn)行講評前的問卷調(diào)查，為你的講評提供第一手材料.教師只有找到了學(xué)生的出錯(cuò)根源，講評才會(huì)有針對性，才是有的放矢，這樣才會(huì)達(dá)到真正的事半功倍的目的.如案例2中學(xué)生的出錯(cuò)根源有兩個(gè)方面：一方面是n1=5這個(gè)條件沒有用到；另一方面是不會(huì)去尋找數(shù)字的規(guī)律，有的學(xué)生算到a3時(shí)就不算了.針對學(xué)生的兩個(gè)出錯(cuò)根源，其一作者一提學(xué)生就明白了，其二作者是這樣設(shè)問的：這是一個(gè)數(shù)字游戲，要求a2011的值，你們是不是一個(gè)一個(gè)算下去求，學(xué)生齊答：“當(dāng)然不會(huì)的.”那么應(yīng)采用什么方法來求呢？學(xué)生們又齊答：找規(guī)律.這個(gè)規(guī)律是n的變化規(guī)律，還是a的變化規(guī)律？學(xué)生們又答是n的變化規(guī)律，為什么？學(xué)生們又齊答：因?yàn)閚知道了，a就可以求了.就這樣，在師生的一問一答中問題得到了解決.為了挖掘本題的講評潛力，筆者還設(shè)計(jì)了如下的問題：

問題一：將原數(shù)字游戲中的n21+1改成n21+2，其余條件不變，求a2011的值；

問題二：將原數(shù)字游戲中的n1=5改成n1=4，其余條件不變，求a2011的值.

雖只是n21+1改成n2+2和n1=5改成n1=4的數(shù)字改動(dòng)，但從學(xué)生答題情況來看，正確率也沒有筆者想象的高，這說明改動(dòng)后的題目的思維價(jià)值提高了，這就是本題潛力所在，但需要教師作講評前的分析、思考和設(shè)計(jì).因此，提高學(xué)生的解題能力，挖掘綜合題的講評潛力是第四步，也是關(guān)鍵的一步.

(責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）