參數(shù)分離法的適用場合

已知含參不等式在某區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的范圍，這是高中數(shù)學(xué)中的典型問題．解決這類問題有兩種常見策略：一是使用參數(shù)分離法，將參數(shù)從方程或不等式中提取出來，把問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值或值域問題；二是使用其他方法，如直接求出含參函數(shù)的最值或值域，或用數(shù)形結(jié)合等思想方法來解決．

雖然參數(shù)分離法的使用頻率比較高，但它并不是萬能的．今天，我們就通過兩道例題，講講參數(shù)分離法的適用場合．

例1 已知函數(shù)f（x）＝lnx-ax，若不等式f（x）＜x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

分析： f（x）

解：由題意得f（x）的定義域為x>0． f（x）-1．

設(shè)g（x）=-1 （ｘ＞0），則g′（x）=. 令g′（x）=0，解得x=e. 當(dāng)x∈（0，ｅ）時，g′（x）＞0，g（x）在（0，ｅ）上單調(diào)遞增；當(dāng)ｘ∈（ｅ，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）在（ｅ，+∞）上單調(diào)遞減． 即g（x）max=g（e）=-1. 要使a>-1恒成立，則a>g（x）max，所以a>-1.

參數(shù)分離法簡捷明了，直擊要害，但它也有“失靈”的時候．現(xiàn)在我們將例1改編成例2，再進(jìn)一步分析.

例2 是否存在實數(shù)a，使不等式ax≥ln（ｘ+1）恒成立？若存在，求實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

分析：表面上看，例2與例1相似，參數(shù)a也能被單獨分離出來，但不等式ax≥ln（ｘ+1）的定義域為x>-1，如果我們用參數(shù)分離法解題，就要分-10三種情況討論．

當(dāng)-10，所以g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，g（x）＜g（0）＝0．所以f′（x）＝＜0，所以f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減． 因為ａ≤f（x），所以ａ≤f（0），而f（0）不存在，至此，由于高中數(shù)學(xué)知識的限制，我們難以求出實數(shù)ａ的取值范圍．

當(dāng)ｘ＞0時，我們也同樣難以求出實數(shù)ａ的取值范圍．

由此可見，參數(shù)分離法不適用于例２． 如果我們采用數(shù)形結(jié)合法解題，就能豁然開朗了．

設(shè)h（x）＝ax，g（x）=ln（x+1）.

如圖1所示，當(dāng)a=1時，h（x）=x的圖象恰好是g（x）=ln（x+1）的圖象在原點處的切線. 觀察可得：當(dāng)a>1時，ax≥ln（x+1）在（-1，0）上不恒成立；當(dāng)a<1時，ax≥ln（x+1）在（1，+∞）上不恒成立.

顯然，由圖1可得，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，不等式ax≥ln（x+1）恒成立.

解：由題意得不等式的定義域為x>-1. 令f（x）=ax-ln（ｘ+1），則f′（x）＝a-.

若a≤0，則當(dāng)x＞0時，ax<0，ln（x+1）>0，所以ax≥ln（x+1）不恒成立.

若0

若a>1，則當(dāng)x∈-1，0時， f′（x）＞0，所以f（x）在-1，0上單調(diào)遞增. 又f（0）=0，所以在-1，0上f（x）<0，即ax≥ln（x+1）不恒成立.

若a=1，則當(dāng)-10時， f′（x）>0.所以x=0是f（x）唯一的極小值即最小值. 而f（0）=0，所以對一切x>-1， f（x）=ax-ln（x+1）≥0.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，ax≥ln（x+1）恒成立.

由以上例題可知，對于已知含參不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，我們可以考慮使用參數(shù)分離法． 要使用參數(shù)分離法，首先要確保參數(shù)可以被單獨分離出來，其次要確保能求出目標(biāo)函數(shù)的最值．如果目標(biāo)函數(shù)無最值且在區(qū)間端點處無意義，限于高中數(shù)學(xué)知識無法解決問題，就要考慮用直接法、數(shù)形結(jié)合法等其他方法解決問題．

【練一練】

已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝. 若對任意的ｘ＞0，不等式ｆ（ｘ）＞1+ａｘ恒成立，求實數(shù)ａ的最大值．

【參考答案】

由于參數(shù)ａ能被單獨分離出來，故可考慮使用參數(shù)分離法． 整理不等式ｆ（ｘ）＞1+ａｘ得ａ＜ （x>0）． 設(shè)g（ｘ）=，則g′（x）=． 令g′（x）=0，因為用高中數(shù)學(xué)知識難以求出g（x）的極值點，所以我們轉(zhuǎn)而使用直接法．

f（x）>1+ax （x>0）恒成立即ln（x+1）-x-ax2>0恒成立. 設(shè)h（x）=ln（x+1）-ｘ-ax2 （ｘ＞0），則h（0）＝0，h′（x）＝-1-2ａｘ＝.

若ａ≥0，則h′（x）≤0，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，由此可得h（x）＜h（0）＝0，這與ｌｎ（ｘ+1）-ｘ-ａｘ2＞0恒成立不符．

若ａ＜0，當(dāng)2ａ+1＞0即-＜ａ＜0時，因為-2ax>0，＜0，所以當(dāng)x∈0，-時，h′（x）=<0，所以h（x）在0，-上單調(diào)遞減，又h（0）＝0，所以當(dāng)-0，≥0，所以h′（x）=>0，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得h（x）＞h（0）＝0，滿足題意．

所以當(dāng)ａ≤-時，不等式f（x）>1+ax恒成立，即實數(shù)ａ的最大值為-.