選擇恰當的向量表示方法

平面向量是從“數”“形”兩個方面進行建構的. “數形一體”的特性使向量成為了解決問題的利器，但也使其更具復雜性和靈活性. 選擇恰當的平面向量表示方法，是靈活解決向量問題的關鍵.

一、平面向量的三種基本表示方法及特點

向量有三種不同的表示方法——字母表示法、幾何表示法和坐標表示法，使用不同的表示方法，會在解題中體現出不同的幾何與代數性質.

例1 已知ａ+ｂ＝ａ-ｂ，求向量ａ，ｂ 所成的角.

解析一 （字母表示法）：用字母表示法解題時，向量模的運算通常可用向量的平方來解決．

由ａ+ｂ2=ａ-ｂ2可得（ａ＋ｂ）２＝（ａ－ｂ）２，即ａ２＋ｂ２＋２ａ?ｂ＝ａ２＋ｂ２－２ａ?ｂ，整理得ａ?ｂ＝０．所以向量a，b所成的角為９０°.

解析二 （幾何表示法）：如圖１所示，ａ＋ｂ，ａ-ｂ是平行四邊形的兩條對角線.因為對角線長度相等的平行四邊形是矩形，所以向量ａ，ｂ所成的角為９０°.

解析三 （坐標表示法）：設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則ａ+ｂ=＝，ａ-ｂ=＝． 由ａ+ｂ=ａ-ｂ可得x1x2+y1y2=0，即ａ?ｂ ＝０，所以向量ａ，ｂ所成的角為９０°.

對比以上三種解法可知，字母表示法利用了向量“不是數量，神似數量”的運算法則——如ａ2＝ａ２，a?（b+c）=a?b+a?c等——來解決問題，其優點是不需畫圖，簡捷高效，缺點是只適用于一些特定的問題；幾何表示法形象而直觀，體現了向量的圖形意義，但運用時需要平面幾何知識的支持，思維面更寬；坐標表示法機械而簡單，能把復雜的思維轉化為數值計算，但使用前提是能方便地建立坐標系.

二、平面向量表示法的選擇策略

使用不同的向量表示法會體現出不同的解題效果. 若能選準合適的表示法來解題，就能準確地發揮向量的“數”“形”功效，有效地化解難點，高效地進行運算．

（１） 通過分析題目特征來選擇向量表示法

通常，題設中給出的向量表示法，就是我們解題的首選方法．如例１給出的是字母表示法，因此字母表示法就成了解題的首選．

但首選方法并不總是最好的表示法.我們應充分分析題目的其他特征，選擇最有利于運算的表示法．比如，解決有關向量模的問題時，如果用數量積運算比較方便，就選用字母表示法；如果利用線段長度來解題比較方便，就選用幾何表示法．例１的解法二就是利用線段長度來表示模長的.

例２ 已知a，b是互相垂直的單位向量，有三個共線向量p，q，r，p=ma+（m+2）b，q=a+mb，r=（ｎ+1）ａ+2（ｍ+1）ｂ，求ｍ，ｎ的值.

解析： 因為a，b是互相垂直的單位向量，所以用坐標表示法解題比較方便．設a=（1，0），b=（0，1），則p=（m，m+2），q=（1，m），ｒ=（ｎ+1，2m+2）. 因為平行向量無傳遞性，所以由p，q，r共線可知p，q，r均不為0，所以有==，解得m=n=2 （m=-1舍去）.

（２） 在不斷嘗試中選擇最優表示法

解答向量問題時，我們可以觀察題設使用的向量表示法是否有助于問題的解決，也可以在解答中嘗試不同的表示法. 當解答受阻或運算煩瑣時，要及時考慮使用其他表示法.

例３ 已知ａ＝ｂ＝ａ-ｂ，求向量a，b的夾角.

解析： 題設使用了字母表示法，但是用字母表示法求a，b的夾角，運算會比較復雜．由于a，b，a-b的模長相等，便于作圖展示，因此我們可以考慮用幾何表示法解題．

如圖２所示，a，b，a-b三個向量圍成了一個等邊三角形，所以向量a，b的夾角為６０°.

例４ 一質點受到平面上的三個力F1，F2，F3 （單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態，已知F1，F2成６０°角，且F1，F2的大小分別為２和４，求F3的大小.

解析： 受物理力學知識的影響，我們一般會想到用幾何表示法解答：作出草圖，用解三角形等知識求解. 如果使用字母表示法，用數量積運算解決問題，求解就能更直接.

因為F1+F2+F3=0，所以F3=-（F1+F2），所以=（Ｆ１+Ｆ２）２＝++2Ｆ１?Ｆ２＝4+16+2?2?4?cos60°=28，由題意可得F3的大小為2.

（３） 同時利用幾種表示法協同解決向量問題

向量的三種表示方法各有優勢，也各有局限性.有時把兩三種表示法結合起來運用，優勢互補，能給解題帶來良好的效果．

例５ 已知向量a，b所成的角為６０°，ａ+ｂ＝4，求ａ+ｂ的最小值.

解析： 先用幾何表示法轉化題設條件：如圖３所示，在平行四邊形OACB中，∠AOB=60°，＝a，＝b，+=4，求的最小值.再用坐標表示法解題：設=t，=4-t，則=（4-ｔ，0），＝ｔ，ｔ，＝+＝4-ｔ，ｔ，所以＝＝. 當ｔ＝2時，有最小值2，即ａ+ｂ的最小值為2.

總之，尋找解決向量問題的思路，往往是從選擇恰當的向量表示方法開始的，這也是活用向量“數”“形”雙重特性的重要策略.

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