最值的兩個要素

提問：在求函數f（x）＝sinx+cos-x的最值時，我的解法是：因為sinx+≤1，cos-x≤1，所以當sinx+＝cos-x＝1或sinx+＝cos-x=-1時，f（x）max＝1；當sinx+＝1，cos-x=-1或sinx+＝-1，cos-x=1時， f（x）min＝-1． 但正確答案是f（x）max＝， f（x）min＝-．我到底錯在哪里？

回答：定義域為A的函數f（x）的最值M應滿足兩個要素：一是不等式f（x）≤M或f（x）≥M恒成立；二是存在x0∈A，使f（x0）＝M成立．只有當這兩個要素都成立時，我們才能把M稱為函數y=f（x），x∈A的最大值或最小值．

提問中的解法只考慮了第一個要素，而忽略了第二個要素．事實上，當sinx+＝1時， x=2kπ （k∈Z），此時cos-x＝cos-2kπ＝cos=，即sinx+=1時，cos-x＝

±1不成立，所以滿足f（x0）＝1或f（x0）＝-1的x0不存在．

求三角函數的最值時，應通過三角恒等變形，將函數化為f（x）=Asin（ωx+φ）+B或f（sinx）這類只含一個角和一種三角函數名的形式，再進行計算． 對于f（sinx）類型的問題，可以使用換元法，設t=sinx，將問題轉化為函數在閉區間上的最值問題．

現在讓我們回頭解決提問中的問題：

f（x）=sin+xcos-x=cosxcoscosx+sinsinx =cos2x+sinxcosx=?（cos2x+1）+sin2x=sin2x++． 當sin2x+=-1，即2x+=-+2kπ，x=-+kπ （k∈Z）時， f（x）min＝-＝-；當sin2x+＝1，即2x+＝+2kπ，x=+kπ （k∈Z）時， f（x）max＝+＝．

進一步說，無論是求函數的最值，還是處理不等式的最值問題，都要滿足上述兩個要素．特別是多次應用基本不等式或均值不等式求最值時，每次取等號的條件都應保持一致．