視深度和視側移問題的再探討

夏思寒

(中國科學技術大學物理學院，安徽 合肥 230022)

筆者拜讀二文[1,2],原文作者對關于從空氣中觀察水中的物體時的視深度和視側移問題通過尺規規范作圖進行了探討,筆者讀后頗受啟發,但感覺原文筆力未盡,故對原問題作進一步的探討如下.

為了使問題的探討更全面,下文分兩種情形,一種為從空氣(光疏介質)中觀察水(光密介質)中的物體情形,即“鳥看魚”情形;另一種為從水(光密介質)中觀察空氣(光疏介質)中的物體情形,即“魚看鳥”情形．

1 “鳥看魚”情形

1.1 “鳥看魚”的視深度

假設魚兒位于水面下h深處,鳥在水面上方觀察,若視線與水面法線的角度為θ,如圖1所示．令水的折射率為n,取空氣的折射率為1．為了討論的方便,將魚視為點,圖1中用點S表示魚,用點S′表示鳥看到的“魚”,即魚的像．在鳥的視線方向取一微小張角為dθ,根據折射定律有

圖1

nsinr=sinθ，

所以ncosrdr=cosθdθ，

從圖中可以看出P、Q間的距離可表示為

PQ=h[tan(r+dr)-tanr]=

h′[tan(θ+dθ)-tanθ].

由上式可得視深h′為

代入、化簡并整理得

(1)

此式即為鳥看魚的視深度的表達式,式中θ∈[0,90°]．

1.2 “鳥看魚”的視側移

另外,由圖1可知像向觀察者所在一側偏移,設像的側移為ΔL,則

(2)

此式即為鳥看魚的視側移的表達式,式中θ∈[0,90°].

結論:鳥從水面上方觀察水中魚,看到的“魚”(像)的位置在魚(物)的上方且偏向觀察者,上移和側移的大小與觀察者觀察的視線方向有關,視線與水面法線的夾角越大,上移和側移越大;視線與水面法線的夾角越小,上移和側移越?。?/p>

2 “魚看鳥”情形

2.1 “魚看鳥”的視深度

假設鳥兒位于水面上方h深處,魚在水面下觀察,若視線與水面法線的角度為α,如圖2所示．仍令水的折射率為n,取空氣的折射率為1．為了討論的方便,將鳥視為點,圖2中用點S表示鳥,用點S′表示魚看到的“鳥”,即鳥的像．在魚的視線方向取一微小張角為dα,根據折射定律有

sinβ=nsinα.

所以cosβdβ=ncosαdα.

圖2

從圖中可以看出M、N間的距離可表示為

MN=h[tan(β+dβ)-tanβ]=

h′[tan(α+dα)-tanα].

由上式可得視深h′為

(3)

2.2 “魚看鳥”的視側移

另外,由圖2可知,像向遠離觀察者的一側偏移,設像的側移為ΔL,則

ΔL=h′tanα-htanβ=

(4)

結論:人從水面上方觀察水中魚,看到的“魚”(即像)的位置在魚(即物)的上方且偏向觀察者,上移和側移的大小與觀察者觀察的視線方向有關,視線與水面法線的夾角越大,上移和側移越大;視線與水面法線的夾角越小,上移和側移越?。?/p>

綜上所述可知,由于光的折射,觀察者從光疏介質中觀察光密介質中的物體時,會感覺物體的位置比實際位置淺些、近些．而從光密介質中觀察光疏介質中的物體時,會感覺物體的位置比實際位置高些、遠些．